„Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x i y są dwa równania pierwszego stopnia opisujące związek pomiędzy tymi dwiema niewiadomymi i jest on dany w następującej postaci [podświetlić układ równań]”

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi i to dwa równania pierwszego stopnia opisujące związek pomiędzy tymi dwiema niewiadomymi. Jest on postaci:

Przykład:

Rozwiązaniem układu równań liniowych jest para liczb , która spełnia jednocześnie oba te równania.

„Rozwiązaniem układu równań liniowych jest para takich liczb x i y, która spełnia jednocześnie oba te równania.”

Przykład 1. Sprawdź, czy para liczb spełnia układ równań .

Odp.: Para liczb nie spełnia podanego układu równań.

„Żeby sprawdzić, czy jakaś para liczb spełnia podany układ równań, możemy po prostu rozwiązać ten układ równań i sprawdzić czy rozwiązaniem jest właśnie podana para liczb ale można to też zrobić inaczej - nie rozwiązując podanego układu. Należy podstawić do równań z układu w miejsce x-a podaną liczbę i w miejsce y-a podaną liczbę, a następnie, jeśli otrzymamy po wykonaniu niezbędnych obliczeń prawdziwe równości, czyli lewa i prawa strona tego równania będą sobie równe, to oznacza to, że podana para spełnia ten układ równań. W przeciwnym wypadku, jeśli choć jedna równość nie zachodzi, to podana para nie spełnia tego układu równań.”

„Okazuje się, że nie każdy układ równań ma rozwiązanie. Możesz się też zdarzyć taka sytuacja, że układ równań będzie spełniony przez nieskończenie wiele par liczb .”

Definicja

Układ równań liniowych nazywamy:

oznaczonym, jeśli ma dokładnie jedno rozwiązanie czyli spełnia go jedna para liczb.
nieoznaczonym, jeśli ma nieskończenie wiele rozwiązań, czyli jest spełniony przez nieskończenie wiele par liczb.
sprzecznym, jeśli nie ma ani jednego rozwiązania czyli żadna para liczb go nie spełnia.

„Do przypomnienia metod rozwiązywania układów równań przejdziemy w kolejnych tematach, natomiast teraz zobaczmy jeszcze na przykładach, jak rozpoznać podczas rozwiązywania układów, czy dany układ jest: oznaczony, nieoznaczony albo sprzeczny.„

Przykład 2.

a)

układ oznaczony

„Jeśli podczas rozwiązywania układu dostaniemy jakiegoś konkretnego x-a i y-a, to układ jest oznaczony.”

b)

układ nieoznaczony

„Jeśli podczas rozwiązywanie układu dostaniemy równanie zawsze prawdziwe na przykład równanie postaci 0 równa się 0 albo 2x równa sie 2x, to oznacza to, że układ ten będzie spełniony przez nieskończenie wiele par liczb, czyli będzie nieoznaczony. „

c)

układ sprzeczny

„Jeśli podczas rozwiązywania układu równań dostaniemy powiedzmy „ jakąś głupotę”, czyli równanie które jest sprzeczne. Na przykład postaci: 0 = 12 (co oczywiście nie jest prawdą), to oznacza to, że układ nie będzie spełniony przez żadną parę liczb, czyli będzie sprzeczny.”

Zadanie 1. Dany jest układ równań postaci .

Wskaż, która para liczb spełnia ten układ równań. Wybierz odpowiedź spośród podanych.

A. B. C. D.

Rozwiązanie

„Jednym ze sposobów na poradzenia sobie z tym zadaniem jest po prostu rozwiązanie podanego układu równań, a następnie należy wybrać tę odpowiedź, w której znajduje się taki x i y, które otrzymaliśmy podczas rozwiązywania tego układu. Natomiast drugą metodą na rozwiązanie tego zadania jest podstawienie do układu równań w miejsce x i w miejsce y podanych liczb i sprawdzenie, czy zachodzą podane równości. Jeśli tak, to układ będzie spełniony przez daną parę liczb. Wybieramy drugi sposób i zaczynamy od sprawdzenia pary liczb podanej w odpowiedzi A.”

A.

B.

C.

D.

Para liczb spełnia podany układ równań.

Zadanie 2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Para liczb i jest rozwiązaniem układu równań dla

A. B. C. D.

Rozwiązanie

Więc .