Usuwanie niewymierności z mianownika

Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ można zastosować w usuwaniu niewymierności z mianownika.

Przykład 1. Usuń niewymierność z mianownika podanego ułamka.

a) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{2\sqrt{3}+2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}=$

$=\frac{2\sqrt{3}+2}{3-1}=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}=\frac{{\cancel{2}}^1\left(\sqrt{3}+1\right)}{{\cancel{2}}_1}=\sqrt{3}+1$

b) $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}\cdot \left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}=$

$=\frac{3\cdot 5-3\sqrt{10}}{5-2}=\frac{15-3\sqrt{10}}{3}=\frac{3\left(5-\sqrt{10}\right)}{3}=\frac{{\cancel{3}}^1\left(5-\sqrt{10}\right)}{{\cancel{3}}_1}=5-\sqrt{10}$