Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia:

Wzór "skróconego mnożenia na różnicę kwadratów" $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ ma zastosowanie w usuwaniu niewymierności z mianownika", dlatego początkowo pokażemy o co w tym chodzi."

Usuwanie niewymierności z mianownika

Przykład 1. Usuń niewymierność z mianownika

a) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{2\sqrt{3}+2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}=\frac{2\sqrt{3}+2}{3-1}=$

$=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}=\sqrt{3}+1$

b) $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}\cdot \left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}=\frac{3\cdot 5-3\sqrt{10}}{5-2}=$

$=\frac{15-3\sqrt{10}}{3}=\frac{3\left(5-\sqrt{10}\right)}{3}=5-\sqrt{10}$

---

Zadanie 1. Dane są liczby $a=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}+3}$ i $b=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{1-\sqrt{2}}$. Dokończ poniższe zdania wybierając poprawną odpowiedź spośród A-D oraz E-H.

1.1. Suma liczb $a$ i $b$ wynosi

A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$                  B. $\sqrt{7}$                   C. $\sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{2}$                   D. $0$

1.2. Liczbą przeciwną do $b$ jest liczba

A. $3\sqrt{3}$                  B. $-\sqrt{3}$                   C. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$                   D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Rozwiązanie

 $a=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}+3}\cdot \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}-3}=\frac{2\sqrt{6}\cdot \left(\sqrt{3}-3\right)}{\left(\sqrt{3}+3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)}=\frac{2\sqrt{18}-6\sqrt{6}}{3-9}=\frac{2\sqrt{9\cdot 2}-6\sqrt{6}}{-6}=\frac{2\cdot 3\sqrt{2}-6\sqrt{6}}{-6}=$

$=\frac{6\sqrt{2}-6\sqrt{6}}{-6}=\frac{-6\left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{-6}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$b=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}{1-2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}-\sqrt{6}-\sqrt{12}}{-1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{12}}{-1}=$

$=-\left(\sqrt{3}-\sqrt{4\cdot 3}\right)=-\sqrt{3}+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$

1.1

$a+b=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{2}$

1.2

Liczbą przeciwną do liczby $\sqrt{3}$ jest liczba $-\sqrt{3}$.

Odp. C, B

---

Zadanie 2. Dana jest liczba $a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}$. Dokończ poniższe zdanie wybierając odpowiedź A, B lub C i poprawne uzasadnienie spośród 1,2 albo 3.

Liczba $a$ jest liczbą

A.	naturalną dodatnią	ponieważ	1.	można ją zapisać w postaci $a=-2$
B.	całkowitą ujemną		2.	można ją zapisać w postaci $a=2\sqrt{2}$
C.	niewymierną		3.	można ją zapisać w postaci $a=2$

 Rozwiązanie

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1$

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=-1+\sqrt{2}$

$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1-\left(-1+\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}+1+1-\sqrt{2}=2$

 Odp. A, 3

---

Zadanie 3. Wiemy, że $x+y=16$, natomiast $x^2+y^2=212$. Oblicz wartość wyrażenia $xy$.

Rozwiązanie

${\left(x+y\right)}^2=x^2+2xy+y^2$

${\left(x+y\right)}^2-x^2-y^2=2xy$

$2xy={\left(x+y\right)}^2-\left(x^2+y^2\right)$

$2xy=16^2-212=256-212=44$

$xy=\frac{44}{2}=22$

Odp.: Otrzymaliśmy$xy=22$.