Zadanie 5. Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$, którego podstawą jest prostokąt. Przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$ taki, że $\cos \alpha =\frac{3}{5}$,          a ponadto $\left|AB\right|=\left|AD\right|+1$ oraz $\left|DH\right|=6\frac{2}{3}$ (zobacz rysunek). 
Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie $\cos \alpha =\frac{x}{y}$ $\frac{3}{5}=\frac{x}{y}$ $\frac{3}{5}y=x$ $x^2+{\left(6\frac{2}{3}\right)}^2=y^2$ ${\left(\frac{3}{5}y\right)}^2+{\left(\frac{20}{3}\right)}^2=y^2$

$\frac{9}{25}{y}^2+\frac{400}{9}=y^2|-\frac{9}{25}{y}^2$ $\frac{400}{9}=\frac{16}{25}{y}^2\stackrel{y>0}{\to }\frac{20}{3}=\frac{4}{5}y$ $y=\frac{20}{3}\cdot \frac{5}{4}=\frac{100}{12}=\frac{25}{3}$ $x=\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\cdot \frac{25}{3}=5$