TEORIA

Definicja

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie boki mają równe długości, a wszystkie kąty jednakowe miary.

Przykłady:

• Na każdym wielokącie foremnym możemy opisać okrąg.

---

"Skupimy się teraz na sześciokącie foremnym"

Sześciokąt foremny

• dłuższe przekątne dzielą go na sześć trójkątów równobocznych.
• jeśli bok sześciokąta foremnego ma długość $a$, to jego pole obliczymy ze wzoru
  $P=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

• dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość $2a$
• krótsza przekątna tego sześciokąta ma długość 

           $2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$

---

Możemy obliczyć miarę kąta wewnętrznego dowolnego wielokąta foremnego. 

Przykład 1. Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego

"Weźmy ośmiokąt foremny i opiszmy na nim okrąg o środku w punkcie $O$. Z punktu tego prowadzimy odcinki do wierzchołków wielokąta foremnego. Okazuje się, że podzieliśmy teraz ośmiokąt na osiem trójkątów równoramiennych, ponieważ poprowadzone przed chwilą odcinki to promienie okręgu. Ośmiokąt jest foremny, więc trójkąty te są jednakowe. Zatem żeby obliczyć teraz miarę kąta alfa, wystarczy podzielić 360 stopni na osiem części. Dostajemy wtedy 45 stopni. Obliczamy teraz miarę kąta beta korzystając z trójkąta równoramiennego. Od stu osiemdziesięciu odejmujemy miarę kąta alfa i dzielimy wynik przez 2, ponieważ mamy dwa takie same kąty beta. Dostajemy z tego  67 i pół stopnia, natomiast my mamy obliczyć miarę kąta wewnętrznego tego wielokąta, która składa się z dwóch kątów przy podstawie takiego trójkąta, zatem wystarczy teraz z powrotem pomnożyć 67 i poł stopnia przez 2, co daje nam 135 stopni."

Weźmy ośmiokąt foremny i opiszmy na nim okrąg:

Obliczamy miarę kąta $\alpha$:

$\alpha =\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$

Obliczamy miarę kąta $\beta$:

$\beta =\frac{180^{\circ }-45^{\circ }}{2}=\frac{135^{\circ }}{2}=67,5^{\circ }$

Miara kąta wewnętrznego:

$2\cdot 67,5^{\circ }=135^{\circ }$

"Miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego możemy obliczyć również z następującego wzoru: 180 stopni odjąć 360 stopni przez n, gdzie n to liczba boków tego wielokąta."

Twierdzenie

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego $\left(n\in \mathbb{N},n>2\right)$ wynosi $180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}$.

---

PRAKTYKA

Zadanie 1. Krótsza przekątna sześciokąta foremnego ma długość $6$.

Wskaż dwa zdania prawdziwe dotyczące tego sześciokąta.

A. Pole tego sześciokąta wynosi $18\sqrt{3}$.

B. Długość boku tego sześciokąta wynosi $4\sqrt{3}$.

C. Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta wynosi $12$.

D. Długość boku tego sześciokąta wynosi $6\sqrt{3}$.

E. Pole tego sześciokąta wynosi $3\sqrt{3}$.

F. Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta wynosi $4\sqrt{3}$.

Rozwiązanie

$a\sqrt{3}=6\text{|}:\sqrt{3}$

$a=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

Długość dłuższej przekątnej to:

$2a=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Pole tego sześciokąta to:

$P=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{{\cancel{4}}^1\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{4}}_1}=6\cdot 3\sqrt{3}=18\sqrt{3}$

---

Zadanie 2. Uzupełnij poniższe zdanie wpisując odpowiednią liczbę rzeczywistą.

Obwód sześciokąta foremnego o polu $54\sqrt{3}$ wynosi .............. .

Rozwiązanie

$54\sqrt{3}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\text{|}:6$

$9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\text{|}\cdot 4$

$36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}$

 $36=a^2$

$a>0$

$a=6$

$Obw.=6\cdot 6=36$

---

Zadanie 3. Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź spośród podanych.

Wielokąt foremny, którego miara kąta wewnętrznego wynosi $144^{\circ }$ ma

A. $9$ boków              B. $10$ boków              C. $11$ boków              D. $12$ boków

Rozwiązanie

"Zadanie to można rozwiązać na kilka sposobów. Możemy np. sprawdzić każda z proponowanych odpowiedzi i obliczyć miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego, który ma 9, 10, 11 i 12 boków. Możemy też wykorzystać wzór poznany wcześniej na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego. Wybierzemy ten sposób."

$180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}=144^{\circ }$

$180^{\circ }-144^{\circ }=\frac{360^{\circ }}{n}$

$36^{\circ }=\frac{360^{\circ }}{n}\text{|}\cdot n$

 $36^{\circ }n=360^{\circ }\text{|}:36^{\circ }$

$n=10$