Wielokąty:

Wielokąty niebieskie są wielokątami wypukłymi.

Kąt wewnętrzny i zewnętrzny wielokąta wypukłego:

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego to kąt przyległy do kąta wewnętrznego.

"Zauważmy, że kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego to kąt przyległy do kąta wewnętrznego."

Definicja

Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, niebędący jego bokiem.

"Na poniższym rysunku kolorem niebieskim zaznaczono przekątne podanego pięciokąta."

---

"Przyjrzymy się teraz dwóm twierdzeniom. Pierwsze to twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego. Mówi ono, że jeśli mamy wielokąt o n kątach, to sumę miar jego kątów wewnętrznych obliczymy ze wzoru 180 stopni razy n minus 2. Spójrzmy na następujące ćwiczenie. Chcemy obliczyć sumę miar kątów wewnętrznych dwunastokąta wypukłego. Podstawiamy więc do podanego w twierdzeniu wzoru liczbę 12, czyli liczbę boków tego wielokąta. Dostajemy 180 stopni razy 10, czyli 1800 stopni. Suma miar kątów wewnętrznych dwunastokąta wypukłego to 1800 stopni."

Twierdzenie Suma miar kątów wielokąta

Suma miar kątów wewnętrznych $n$ - kąta wypukłego $\left(n\in \mathbb{N},n>2\right)$ wynosi $180^{\circ }\cdot \left(n-2\right)$.

Przykład 1. Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych dwunastokąta wypukłego.

$180^{\circ }\cdot \left(12-2\right)=180^{\circ }\cdot 10=1800^{\circ }$

---

"Drugie twierdzenie dotyczy liczby przekątnych wielokąta. Mówi ono, że jeśli mamy wielokąt o n kątach, to liczbę jego przekątnych obliczymy ze wzoru n razy razy n minus 3 dzielone przez 2. Spójrzmy na następujące ćwiczenie. Mamy obliczyć liczbę przekątnych dwunastokąta. Podstawiamy więc liczbę 12 do podanego przed chwilą wzoru na liczbę przekątnych n-kąta. i dostajemy 12 razy 12 odjąć 3, dzielone przez 2. Skracamy 12 i 2 przez 6 i mamy 6 razy 9, czyli 54."

Twierdzenie Liczba przekątnych wielokąta

Liczba przekątnych $n$ - kąta $\left(n\in \mathbb{N},n>2\right)$ wynosi $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$.

Przykład 2. Oblicz, ile przekątnych ma dwunastokąt.

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=\frac{{\cancel{12}}^6\cdot \left(12-3\right)}{{\cancel{2}}_1}=6\cdot 9=54$

---

Zadanie 1. Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź spośród podanych.

Wielokąt wypukły, którego suma miara kątów wewnętrznych wynosi $1260^{\circ }$ ma

A. $7$ boków              B. $8$ boków              C. $9$ boków              D. $10$ boków

Rozwiązanie

"Zadanie to można rozwiązać na kilka sposobów. Możemy np. sprawdzić każda z proponowanych odpowiedzi i obliczyć sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta, który ma 7, 8, 9 i 10 boków. Możemy też wykorzystać wzór poznany wcześniej na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta. Wybierzemy ten sposób."

$180^{\circ }\cdot \left(n-2\right)=1260^{\circ }$

$n-2{}^{\circ }=\frac{1260^{\circ }}{180^{\circ }}$

$n-2{}^{}=7$

 $n=9$

---

Zadanie 2. W pewnym wielokącie wypukłym liczba przekątnych jest $6$ razy większa od liczby jego boków. Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych tego wielokąta.

Rozwiązanie

Dany jest $n$ - kąt.

Liczba przekątnych to $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$.

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=6n$

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=6n\text{|}\cdot 2$

$n^2-3n=12n$

$n^2-15n=0$

$n\left(n-15\right)=0$

$n=0\text{lub}n-15=0$

$n$ - liczba naturalna większa od $2$

$n=15$

Szukany wielokąt to piętnastokąt.

Sumę miar jego kątów wewnętrznych:

$180^{\circ }\cdot \left(n-2\right)=180^{\circ }\cdot \left(15-2\right)=180^{\circ }\cdot 13=2340^{\circ }$

Odp.: Suma miar kątów wewnętrznych opisanego wielokąta to $2340^{\circ }$.