Definicja

Jeden procent ($1\%$) danej wielkości to $\frac{1}{100}$ tej wielkości. 

 

Obliczanie procentu danej liczby

$p\%$ liczby $a$ to $\frac{p}{100}\cdot a$.

(Obliczając p% pewnej liczby musimy wyznaczyć 1/100 tej liczby.)

 

Przykład 1. Oblicz:

a) $60\%$ liczby $25$

$60\%$ liczby $25$ to $\frac{60}{100}\cdot 25=\frac{3}{{}_1\cancel{5}}\cdot {\cancel{25}}^5=15$

b) $9\%$ liczby $10$

$9\%$ liczby $10$ to $\frac{9}{{}_{10}\cancel{100}}\cdot {\cancel{10}}^1=\frac{9}{10}$

c) $\frac{3}{4}\%$ liczby $12$

$\frac{3}{4}\%$ liczby $12$ to $\frac{\frac{3}{4}}{100}\cdot 12=\frac{\frac{3}{4}\cdot 12}{100}=\frac{9}{100}$

 

Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Przykład 2. Oblicz, jakim procentem liczby $60$ jest liczba $12$.

Rozwiązanie

$100\%-60$
$x\%-12$

Proporcja:

$\frac{100}{x}=\frac{60}{12}$

$\frac{100}{x}=5|\cdot x,x\ne 0$

$100=5x|:5$

$x=20$

Odp.: Liczba $12$ to $20\%$ liczby $60$.

 

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Przykład 3. Cena komputera po obniżce o $20\%$ wynosi $2560\text{zł}$. Wyznacz cenę tego komputera przed obniżką. 

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ cenę tego komputera przed podwyżką. (x w zł)

(Skoro cenę komputera obniżono o 20%, to jego obecna cena stanowi 80% ceny przed obniżką)

$80\%\cdot x=2560$

$0,8x=2560|:0,8$

$x=3200$

Odp.: Cena komputera przed obniżką wynosiła $3200\text{zł}$.

 

Definicja

Jeden promil ($1‰$) pewnej wielkości to $\frac{1}{1000}$ tej wielkości.

 

---

Zadanie x. Liczba $a$ stanowi $20\%$ liczby dodatniej $b$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $b$ to

A.  $500\%\cdot a$                    B.  $80\%\cdot a$                    C.  $400\%\cdot a$                     D.  $120\%\cdot a$

Rozwiązanie

$a=20\%\cdot b$

$a=\frac{20}{100}b$

$a=\frac{1}{5}b|\cdot 5$

$5a=b$

$b=5a=500\%\cdot b$

Odp. A

---

Zadanie x. Liczba dodatnia $a$ jest o $20\%$ większa od liczby $b$. Liczba dodatnia $c$ jest o $50\%$ mniejsza od liczby $b$.

x.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest większa od liczby $c$

A.  o $240\%$ liczby $c$

B.  o $140\%$ liczby $c$

C.  o $70\%$ liczby $c$

D.  o $40\%$ liczby $c$

x.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek liczby $c$ do liczby $a$ wynosi

A.  $\frac{2}{5}$                   B.  $\frac{5}{2}$                    C.  $\frac{5}{12}$                    D.  $\frac{12}{5}$

 

Rozwiązanie

(1 część zadania)

$a=120\%b=1,2b$

$c=50\%b=0,5b$

$a=1,2b=1,2\cdot 2c=2,4c$

$a=c+1,4c=c+140\%c$

Odp B

(2 część)

$\frac{c}{a}=\frac{0,5b}{1,2b}=\frac{0,5}{1,2}=\frac{5}{12}$

Odp. C

 

 

Zadanie x. Cenę roweru obniżono o $20\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W wyniku obu tych obniżek cena roweru zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

A.  $18\%$                    B.  $28\%$                    C.  $30\%$                     D.  $72\%$

Rozwiązanie

$x$ - cena początkowa roweru

Pierwsza obniżka:

$x-20\%x=x-0,2x=0,8x$

Druga obniżka:

$0,8x-10\%\cdot 0,8x=0,8x-0,08x=0,72x$

Cena po obu obniżkach stanowi $72\%$ ceny początkowej.

Cena obniżyła się o $100\%-72\%=28\%$.

 

 

Zadanie x. Cenę telefonu obniżono dwukrotnie, za każdym razem o $10\%$ w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki. Telefon kosztuje obecnie $1944\text{zł}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cena telefonu przed obniżkami była równa

A.  $2430\text{zł}$                    B.  $2400\text{zł}$                    C.  $2332,80\text{zł}$                     D.  $1574,64\text{zł}$

Rozwiązanie

$x$ - początkowa cena telefonu

Pierwsza obniżka:

$x-10\%x=x-0,1x=0,9x$

Druga obniżka:

$0,9x-10\%\cdot 0,9x=0,9x-0,09x=0,81x$

Obecna cena telefonu to $0,81x$. Z treści zadania wiemy, że wynosi ona dokładnie $1944\text{zł}$. Mamy stąd równanie:

$0,81x=1944|:0,81$

$x=2400$

Pierwotna cena telefonu była równa $2400\text{zł}$.