Definicja

Wysokość trójkąta to odcinek, który jest prostopadły do boku trójkąta i łączy wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (ewentualnie jego przedłużeniem).

Uwaga: Każdy trójkąt ma trzy wysokości.

rys.1.1

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie proste zawierające wysokości tego trójkąta przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum.

rys.1.2

Warto pamiętać:

trójkąt równoramienny	trójkąt równoboczny	trójkąt prostokątny
Wysokość poprowadzona na podstawę dzieli ją na dwie równe części.	Wysokość można obliczyć korzystając ze wzoru , gdzie to długość boku tego trójkąta.	Jeśli wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na boki długości i , to
2.1	2.2	2.3

Definicja

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

rys.3.1

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środkowe przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych w stosunku licząc od wierzchołka.

rys.3.2

Warto pamiętać:

trójkąt równoramienny

trójkąt równoboczny

Środkowa poprowadzona do podstawy jest wysokością.

Środkowe i wysokości się pokrywają → wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w stosunku .

rys.4.1

Zadanie 1. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości .

Dokończ zdanie. Wybierz poprawną odpowiedź spośród podanych.

Odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boku wynosi

A. B. C. D.

Rozwiązanie

rys.5.1-5.2

Zadanie 2. Na poniższym rysunku przedstawiono pewien trójkąt prostokątny , w którym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną na odcinki długości i .

rys. 6.1 -6.3

Oblicz pole trójkąta . Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. B. C. D.

Rozwiązanie

Info, że można to zrobić wykorzystując podobieństwo trójkątów ADC i CDB albo ze wzoru z części teoretycznej, który jest też w kartach wzorów.

Zadanie 3. W trójkącie równoramiennym o bokach długości , i oznaczono środki boków , i kolejno jako , i , a następnie poprowadzono odcinki łączące wierzchołki trójkąta ze środkami przeciwległych boków. Punkt przecięcia tych odcinków oznaczono jako . Sytuacje przedstawiono na poniższym rysunku.

rys.7.1-7.3

Oblicz sumę obwodów trójkątów i . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

.

Odp.: Suma obwodów trójkątów i wynosi .