Definicja

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

rys.3.1

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środkowe przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych w stosunku $2:1$licząc od wierzchołka.

rys.3.2

Warto pamiętać:

Oblicz pole trójkąta $ABC$. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. $16\sqrt{3}{\text{cm}}^2$                            B.  $24\sqrt{2}{\text{cm}}^2$                           C. $24\sqrt{3}{\text{cm}}^2$                            D. $32\sqrt{3}{\text{cm}}^2$

Rozwiązanie

Info, że można to zrobić wykorzystując podobieństwo trójkątów ADC i CDB albo ze wzoru z części teoretycznej, który jest też w kartach wzorów.

$h=\sqrt{4\cdot 12}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\left[\mathrm{cm}\right]$

$a=4\mathrm{cm}+12\mathrm{cm}=16\mathrm{cm}$

$P=\frac{4\sqrt{3}\text{cm}\cdot 16\mathrm{cm}}{2}=32\sqrt{3}{\text{cm}}^2$

 Zadanie 3. W trójkącie równoramiennym $ABC$ o bokach długości $15$, $15$ i $18$ oznaczono środki boków $AB$, $BC$ i $CA$ kolejno jako $D$, $E$ i $F$ , a następnie poprowadzono odcinki łączące wierzchołki trójkąta ze środkami przeciwległych boków. Punkt przecięcia tych odcinków oznaczono jako $S$. Sytuacje przedstawiono na poniższym rysunku.

rys.7.1-7.3

Oblicz sumę obwodów trójkątów $ABE$ i $ABF$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$\left|AD\right|=\left|DB\right|=9$

$\left|BE\right|=\left|EC\right|=\left|CF\right|=\left|FA\right|=7,5$

$9^2+{\left|CD\right|}^2=15^2$ 

 $81+{\left|CD\right|}^2=225|-81$

${\left|CD\right|}^2=144|\sqrt{},|CD|>0$

$\left|CD\right|=12$ 

$\left|DS\right|=\frac{\left|CD\right|}{3}=\frac{12}{3}=4$

$9^2+4^2={\left|AS\right|}^2$ 

 $81+16={\left|AS\right|}^2$

${\left|AS\right|}^2=97|\sqrt{},|AS|>0$

$\left|AS\right|=\sqrt{97}$ 

$\left|AS\right|=\frac{2}{3}\cdot \left|AE\right|$

$\sqrt{97}=\frac{2}{3}\cdot \left|AE\right|$

$\left|AE\right|=\sqrt{97}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{97}}{2}$

$O{b}_{ABE}=O{b}_{ABF}$

$O{b}_{ABE}=18+7\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{97}}{2}=25\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{97}}{2}=\frac{51}{2}+\frac{3\sqrt{97}}{2}=\frac{51+3\sqrt{97}}{2}$

$O{b}_{ABE}+O{b}_{ABF}=2\cdot \frac{51+3\sqrt{97}}{2}=51+3\sqrt{97}$.

Odp.: Suma obwodów trójkątów $ABE$ i $ABF$ wynosi $51+3\sqrt{97}$.