Treść:

Punkty A, B, C, D, E leżą na okręgu o środku S. Miara kąta BCD jest równa 110º, a miara kąta BDA jest równa 35º (zobacz rysunek).

Wtedy kąt DEA ma miarę równą

A. 100º

B. 105º

C. 110º

D. 115º

---

Rozwiązanie:

Zauważmy, że czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, zatem

$\left|\sphericalangle BCD\right|+\left|\sphericalangle BAD\right|=180^{\circ }$

więc

$$\begin{gathered} 110^{\circ }+\left|\sphericalangle BAD\right|=180^{\circ } \\ \left|\sphericalangle BAD\right|=70^{\circ } \end{gathered}$$

Kąt BED jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany BAD, zatem

$\left|\sphericalangle BED\right|=\left|\sphericalangle BAD\right|=70^{\circ }$

Zauważamy, że kąt BSD jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, co kąt BAD, więc:

$\left|\sphericalangle BES\right|=2\cdot \left|\sphericalangle BAD\right|=2\cdot {70}^{\circ }={140}^{{}^{\circ }}$

Natomiast kąt środkowy wklęsły BSD ma więc miarę

$\left|\sphericalangle BSD\right|=360^{\circ }-140^{\circ }=220^{\circ }$

Zauważamy również, że kąt AEB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany ADB, więc:

$\left|\sphericalangle AEB\right|=\left|\sphericalangle ADB\right|={35}^{\circ }$

Wnioskujemy, że:

$\left|\sphericalangle AED\right|=\left|\sphericalangle AEB\right|+\left|\sphericalangle BED\right|={35}^{\circ }+{70}^{\circ }=\underline{\underline{{105}^{\circ }}}$     

---

Odp. B.