a)

Rozważamy ciąg

$a_n=\sin \left(\frac{\pi }{2}+n\pi \right)$  

Przekształcamy wzór ciągu. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$

i otrzymujemy

$a_n=\cos n\pi$   

Spójrzmy na wykres funkcji y=cosx

Rysunek:

$\cos n\pi =\{\begin{array}{l}1\text{dla}n\text{parzystych}\\ -1\text{dla}n\text{nieparzystych}\end{array}$  

To oznacza, że

$a_n=\{\begin{array}{l}1\text{dla}n=2k\\ -1\text{dla}n=2k-1\end{array},k\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wobec tego wyrazy ciągu (a_n) o numerach parzystych są równe 1, a o numerach nieparzystych są równe -1. 

Mamy obliczyć sumę stu początkowych wyrazów ciągu (a_n). Wśród stu początkowych wyrazów ciągu jest 50 wyrazów o numerach parzystych i 50 wyrazów o numerach nieparzystych.  Zatem

$S_{100}=50\cdot 1+50\cdot \left(-1\right)=50-50=\underline{\underline{0}}$  

Odp.: Suma stu początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 0.

---

b)

Rozważamy ciąg

$a_n=n\cdot \cos n\pi$   

Spójrzmy na wykres funkcji y=cosx

Rysunek:

Z rysunku odczytujemy, że

$\cos n\pi =\{\begin{array}{l}1\text{dla}n\text{parzystych}\\ -1\text{dla}n\text{nieparzystych}\end{array}$  

To oznacza, że

$a_n=\{\begin{array}{l}n\text{dla}n=2k\\ -n\text{dla}n=2k-1\end{array},k\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Mamy obliczyć sumę stu początkowych wyrazów ciągu (a_n). Wśród stu początkowych wyrazów ciągu jest 50 wyrazów o numerach parzystych i 50 wyrazów o numerach nieparzystych.  

Obliczamy sumę wyrazów o numerach parzystych.

Oznaczmy tę sumę przez  S_2k. Wyrazy o numerach parzystych to:

$a_2=2,a_4=4,a_6=6,\dots ,a_{100}=100$  

Zauważmy, że wyrazy o numerach parzystych tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

$S_{2k}=\frac{a_2+a_{100}}{2}\cdot 50=\frac{2+100}{{\cancel{2}}_1}\cdot {\cancel{50}}^{25}=102\cdot 25=2550$  

Obliczamy sumę wyrazów o numerach nieparzystych.

Oznaczmy tę sumę przez  S_2k-1. Wyrazy o numerach nieparzystych to:

$a_1=-1,a_3=-3,a_5=-5,\dots ,a_{99}=-99$  

Zauważmy, że wyrazy o numerach nieparzystych tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

$S_{2k-1}=\frac{a_1+a_{99}}{2}\cdot 50=\frac{-1-99}{{\cancel{2}}_1}\cdot {\cancel{50}}^{25}=-100\cdot 25=-2500$  

Obliczamy sumę stu początkowych wyrazów ciągu.

Suma stu początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie 50 początkowych wyrazów o numerach parzystych i 50 początkowych wyrazów o numerach nieparzystych. Zatem

$S_{100}=S_{2k}+S_{2k-1}=2550-2500=\underline{\underline{50}}$  

Odp.: Suma stu początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 50.