Iloczyn dziesięciu początkowych wyrazów o numerach...- Zadanie 14: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważamy ciąg geometryczny (a_n). Mamy obliczyć a₆.

Niech q będzie ilorazem tego ciągu.

Ciąg (a_n) jest rosnący, czyli monotoniczny. To oznacza, że jego iloraz jest liczbą dodatnią. Stąd mamy, że

$q > 0$

Wiadomo, że iloczyn dziesięciu początkowych wyrazów o numerach parzystych jest 32 razy większy od iloczynu dziesięciu początkowych wyrazów o numerach nieparzystych. Tę zależność możemy zapisać w następujący sposób:

$a_{2} \cdot a_{4} \cdot \dots \cdot a_{20} = 32 a_{1} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{19}$

Korzystając z własności ciągu geometrycznego, otrzymujemy

$a_{2} = a_{1} \cdot q, a_{4} = a_{3} \cdot q, \dots, a_{20} = a_{19} \cdot q$

Stąd dana równość sprowadza się do

$a_{1} \cdot q \cdot a_{3} \cdot q \cdot \dots \cdot a_{19} \cdot q = 32 a_{1} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{19}$

$a_{1} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{19} \cdot q^{10} = 32 a_{1} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{19}$

Ciąg (a_n) jest rosnący, zatem wszystkie jego wyrazy są różne od zera.

$a_{1} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{19} \cdot q^{10} = 32 a_{1} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{19} ∣ : a_{1} \cdot a_{3} \cdot \dots a_{19} \neq = 0$

$q^{10} = 32$

Zapisujemy obie strony równania jako potęgi o wykładniku 10.

$q^{10} = 2^{5}$

$q^{10} = ((2)^{2})^{5}$

$q^{10} = (2)^{10}$

Z założenia mamy, że q>0, zatem

$\underline{\underline{q = 2}}$

Aby wyznaczyć szósty wyraz ciągu, potrzebujemy wiedzieć, ile jest równy pierwszy wyraz ciągu (a_n). Z treści zadania wiemy, że suma kwadratów dwóch pierwszych wyrazów jest równa 30. To oznacza, że

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 30$

$a_{1}^{2} + a_{1}^{2} q^{2} = 30$

$a_{1}^{2} + a_{1}^{2} \cdot (2)^{2} = 30$

$3 a_{1}^{2} = 30 ∣ : 3$

$a_{1}^{2} = 10$

Stąd

$a_{1} = 10 \lor a_{1} = - 10$

Skoro ciąg (a_n) jest rosnący oraz iloraz tego ciągu jest liczbą większą od 1, to pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest liczbą dodatnią. To oznacza, że

$a_{1} = 10$