Twierdzenie o reszcie

Jeśli r jest resztą z dzielenia wielomianu w przez dwumian (x-a), to $w\left(a\right)=r$

---

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu 

$w\left(x\right)=x^3+p{x}^2-x+2$  

przez dwumian (x-3) jest równa 8.

Z twierdzenia o reszcie wynika, że

$w\left(3\right)=8$  

Wstawiamy powyższą zależność do wzoru wielomianu w i obliczamy wartość parametru p.

  $3^3+p\cdot 3^2-3+2=8$  

$27+9p-1=8$  

$9p+26=8$  

$9p=-18\mid :9$  

Stąd

$p=\underline{\underline{-2}}$  

---

Wyznaczymy teraz wszystkie pierwiastki wielomianu w. Wstawiamy otrzymaną wartość parametru p do wzoru wielomianu i dostajemy:

$w\left(x\right)=x^3-2x^2-x+2$  

Rozkładamy wielomian na czynniki. Stosujemy metodę grupowania wyrazów.

$w\left(x\right)=x^2\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2-1\right)$

Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy, że wielomian w rozłożony na czynniki ma postać 

$w\left(x\right)=\left(x-2\right)\underset{x^2-1}{\underbrace{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}$

Z powyższej postaci odczytujemy, że wielomian w ma trzy pierwiastki:

$x=2,x=1,x=-1$