Zapisz konieczne założenia...- Zadanie 26: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Mamy wykonać mnożenie

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{x - 3}$

Zakładamy, że mianowniki obu powyższych ułamków są różne od zera. Stąd

$x \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 3$

Otrzymujemy, że

$x \in R \ {0, 3}$

Wykonujemy mnożenie:

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{( x + 3 ) \cdot x \cdot x}{x \cdot ( x - 3 )} = \frac{x ( x + 3 )}{x - 3} = \frac{x ^{2} + 3 x}{x - 3}$

Mamy wykonać mnożenie

$\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Zakładamy, że mianowniki obu powyższych ułamków są różne od zera. Stąd

$x^{2} - 1 \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x^{2} \neq = 1$

$x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

Otrzymujemy, że

$x \in R \ {- 1, 0, 1}$

Wykonujemy mnożenie. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i rozkładamy na czynniki mianownik pierwszego ułamka

$\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x} = \frac{x ^{3}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{x + 1}{x} = \frac{x ^{3^{2}} \cdot ( x + 1 )}{x \cdot ( x - 1 ) \cdot ( x + 1 )} = \frac{x ^{2}}{x - 1}$

Mamy wykonać mnożenie

$\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x - 3}$

Zakładamy, że mianowniki obu powyższych ułamków są różne od zera. Stąd

$x + 3 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0$

$x \neq = - 3 \land x \neq = 3$

Otrzymujemy, że

$x \in R \ {- 3, 3}$

Wykonujemy mnożenie. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i rozkładamy na czynniki licznik pierwszego ułamka

$\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 3 )} \cdot \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{( x - 3 )} = x + 2$

Mamy wykonać mnożenie

$\frac{x ^{2} - 4}{2 x ^{2}} \cdot \frac{x}{x - 2}$

Zakładamy, że mianowniki obu powyższych ułamków są różne od zera. Stąd

$2 x^{2} \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 2$

Otrzymujemy, że

$x \in R \ {0, 2}$

Wykonujemy mnożenie. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i rozkładamy na czynniki licznik pierwszego ułamka

$\frac{x ^{2} - 4}{2 x ^{2}} \cdot \frac{x}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{2 x \cdot x} \cdot \frac{x}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) \cdot ( x + 2 ) \cdot x}{2 x \cdot x \cdot ( x - 2 )} = \frac{x + 2}{2 x}$

Mamy wykonać mnożenie

$\frac{9 x ^{2} - 4}{x ^{2} - 16} \cdot \frac{x - 4}{3 x + 2}$

Zakładamy, że mianowniki obu powyższych ułamków są różne od zera. Stąd

$x^{2} - 16 \land 3 x + 2 \neq = 0$

$x^{2} \neq = 16 \land 3 x \neq = - 2$

$x \neq = 4 \land x \neq = - 4 \land x \neq = - \frac{2}{3}$

Otrzymujemy, że

$x \in R \ {- 4, 4, - \frac{2}{3}}$

Wykonujemy mnożenie. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i rozkładamy na czynniki licznik i mianownik pierwszego ułamka.

$\frac{9 x ^{2} - 4}{x ^{2} - 16} \cdot \frac{x - 4}{3 x + 2} = \frac{( 3 x - 2 ) ( 3 x + 2 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )} \cdot \frac{x - 4}{3 x + 2} = \frac{( 3 x - 2 ) \cdot ( 3 x + 2 ) \cdot ( x - 4 )}{( x - 4 ) \cdot ( x + 4 ) ( 3 x + 2 )} = \frac{3 x - 2}{x + 4}$

Mamy wykonać mnożenie

$\frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} + x} \cdot \frac{x ^{2}}{x - 1}$

Zakładamy, że mianowniki obu powyższych ułamków są różne od zera. Stąd

$x^{2} + x \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0$

$x (x + 1) \neq = 0 x \neq = \underline{\underline{1}}$

$x \neq = \underline{\underline{0}} \land x + 1 \neq = 0$

$x \neq = \underline{\underline{- 1}}$

Otrzymujemy, że

$x \in R \ {- 10, 1}$

Wykonujemy mnożenie. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i rozkładamy na czynniki licznik pierwszego ułamka.

$\frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} + x} \cdot \frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ( x + 1 )} \cdot \frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{( x + 1 ) ^{2} \cdot x ^{2}}{x \cdot ( x + 1 ) ( x - 1 )} =$

$= \frac{( x + 1 ) \cdot ( x + 1 ) \cdot x \cdot x}{x \cdot ( x + 1 ) \cdot ( x - 1 )} = \frac{x ^{2} + x}{x - 1}$

Mamy wykonać mnożenie

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} + x - 2}$

Zakładamy, że mianowniki obu powyższych ułamków są różne od zera. Stąd

$x^{2} - 1 \land x^{2} + x - 2 \neq = 0$

Rozkładamy mianowniki obu ułamków na czynniki

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$

Aby rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy x² + x - 2, wyznaczamy pierwiastki tego trójmianu:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

$Δ = 9 = 3$

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Wobec tego otrzymujemy, że

$x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Zatem zakładamy, że

$(x - 1) (x + 1) \neq = 0 \land (x + 2) (x - 1) \neq = 0$

Czyli

$x \neq = 1 \land x \neq = - 1 \land x \neq = - 2 \land x \neq = 1$

Otrzymujemy dziedzinę wyrażenia:

$x \in R \ {- 2, - 1, 1}$

Wykonujemy mnożenie. Rozkładamy liczniki i mianowniki ułamków na czynniki.

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} + x - 2} = \frac{( x - 1 ) ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{x ( x + 1 )}{( x + 2 ) ( x - 1 )} =$

$= \frac{( x - 1 ) ( x - 1 ) \cdot x \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 1 )} = \frac{x}{x + 2}$

Mamy wykonać mnożenie

$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{x ^{2} - 2 x} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} + x - 6}$

Zakładamy, że mianowniki obu powyższych ułamków są różne od zera. Stąd

$x^{2} - 2 x \land x^{2} + x - 6 \neq = 0$

Rozkładamy mianowniki obu ułamków na czynniki

$x^{2} - 2 x = x (x - 2)$

Aby rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy x² + x - 6, wyznaczamy pierwiastki tego trójmianu:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25$

$Δ = 25 = 5$

$x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Wobec tego otrzymujemy, że

$x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$

Zatem zakładamy, że

$x (x - 2) \neq = 0 \land (x + 3) (x - 2) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

Czyli

$x \neq = 0 \land x \neq = 2 \land x \neq = - 3 \land x \neq = 2$

Otrzymujemy dziedzinę wyrażenia:

$x \in R \ {- 3, 0, 2}$

Wykonujemy mnożenie. Rozkładamy liczniki i mianowniki ułamków na czynniki.

$\frac{( x - 2 ) ^{2}}{x ^{2} - 2 x} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} + x - 6} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x ( x - 2 )} \cdot \frac{x ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{( x - 2 ) ^{2} \cdot x}{x \cdot ( x - 2 ) ^{2}} = 1$