Wyznaczamy wszystkie wartości parametru m, dla których wielomian

$w\left(x\right)=\left(2x-1\right)\left(4x^2-mx+1\right)$  

ma dokładnie jeden pierwiastek.

---

Zauważmy, że wielomian w jest podany w postaci iloczynowej. Wyznaczamy pierwiastki wielomianu:

$\left(2x-1\right)\left(4x^2-mx+1\right)=0$  

 Czyli

$2x-1=0\vee 4x^2-mx+1=0$  

$2x=1$  

$x=\frac{1}{2}$  

Otrzymaliśmy, że niezależnie od wartości parametru m, pierwiastkiem wielomianu w jest x = ¹/_2. 

Skoro wielomian w ma mieć tylko jeden pierwiastek, to trójmian kwadratowy (4x² - mx +1) nie może mieć innych pierwiastków niż x = ¹/_2.  

Rozważamy zatem dwa rozłączne przypadki:

---

I przypadek:

Trójmian kwadratowy y = 4x² - mx +1 nie ma pierwiastków.

Zatem zakładamy, że

$\Delta <0$  

Mamy:

$\Delta ={\left(-m\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=m^2-16=m^2-16=\left(m-4\right)\left(m+4\right)$  

Stąd mamy nierówność kwadratową:

$\underset{\Delta }{\underbrace{\left(m-4\right)\left(m+4\right)}}<0$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego, który jest po lewej stronie nierówności:

$m-4=0\vee m+4=0$  

Stąd

$m=4\vee m=-4$  

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej. Szkicujemy parabolę i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

Rysunek:

Zatem

$m\in \left(-4;4\right)$  

---

---

II przypadek:

Trójmian kwadratowy y = 4x² - mx +1 ma jeden pierwiastek podwójny, równy

$x=\frac{1}{2}$  

Zatem zakładamy, że

$\text{1)}\Delta =0\wedge \text{2)}x=\frac{1}{2}$  

Wyznaczamy wartości parametru m, dla których spełnione są jednocześnie oba powyższe warunki.

---

$\text{1)}\Delta =m^2-16$  

Stąd

$\underset{\Delta }{\underbrace{m^2-16}}=0$  

$m^2=16$  

Czyli

$m=4\vee m=-4$  

---

2) Wyznaczamy wartości parametru m, dla których pierwiastkiem trójmianu kwadratowego jest  

$x=\frac{1}{2}$  

Mamy:

$4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-m\cdot \frac{1}{2}+1=0$  

$4\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{2}m+1=0$  

$2-\frac{1}{2}m=0$  

$-\frac{1}{2}m=-2\mid \cdot \left(-2\right)$  

  $m=4$   

---

Zauważmy, że jedyną liczbą, która spełnia jednocześnie warunki 1) i 2), jest

$m=4$  

---

---

Odpowiedzią do zadania jest suma zbiorów rozwiązań, które otrzymaliśmy w I i II przypadku. Stąd

$m\in \left(-4;4\right)\cup \left\{4\right\}$  

Czyli

$\underline{\underline{m\in \left(-4;4\right]}}$