Twierdzenie Bézouta: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-a).

---

a)

Rozwiązujemy równanie:

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3+x^2-2}}=0$  

Wielomian, który jest po lewej stronie równania rozkładamy na czynniki. Szukamy pierwiastka całkowitego wielomianu. Jeżeli taki istnieje, to jest dzielnikiem liczby -2, co oznacza, że będzie należał on do zbioru

$D_{-2}=\left\{\pm 1,\pm 2\right\}$  

Sprawdzamy  x = 1:

$w\left(1\right)=1^3+1^2-2=2-2-0$   

Otrzymaliśmy, że x = 1 jest pierwiastkiem wielomianu w. Na mocy Twierdzenia Bezouta ten wielomian jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonujemy dzielenie stosując np. schemat Hornera.

	$1$	$1$	$0$	$-2$
$1$		$1$	$2$	$2$
	$1$	$2$	$2$	$0$

Zatem wielomian w można zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+2x+2\right)$  

Stąd  równanie sprowadza się do postaci:

$x-1=0\vee x^2+2x+2=0$  

$x=\underline{\underline{1}}\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0$  

równanie sprzeczne

Zatem równanie ma jedno rozwiązanie:

$\underline{\underline{x=1}}$  

---

b)

Rozwiązujemy równanie:

$3x^3+x^2+x=2$  

Mamy:

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{3x^3+x^2+x-2}}=0$  

Wielomian, który jest po lewej stronie równania rozkładamy na czynniki. Szukamy pierwiastka wymiernego wielomianu. Jeżeli taki istnieje, to jest on ułamkiem, którego licznik jest dzielnikiem liczby -2, a mianownik jest dzielnikiem 3. Mamy

$D_{-2}=\left\{\pm 1,\pm 2\right\},D_3=\left\{\pm 1,\pm 3\right\}$  

Zatem jeżeli istnieje pierwiastek wymierny, to należy on do zbioru 

$\left\{\pm 1,\pm \frac{1}{3},\pm 2,\pm \frac{2}{3}\right\}$  

Sprawdzamy  x = ²/₃ :

$w\left(\frac{2}{3}\right)=3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}-2={\sout{3}}^1\cdot \frac{8}{{\sout{27}}_9}+\frac{4}{9}+\frac{6}{9}-2=\underset{2}{\underbrace{\frac{8}{9}+\frac{10}{9}}}-2=2-2=0$   

x = ²/₃  jest pierwiastkiem wielomianu w, zatem na mocy Twierdzenia Bezouta ten wielomian jest podzielny przez dwumian (x - ²/₃). Wykonujemy dzielenie stosując np. schemat Hornera.

	$3$	$1$	$1$	$-2$
$\frac{2}{3}$		$2$	$2$	$2$
	$3$	$3$	$3$	$0$

Zatem wielomian w można zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników

$w\left(x\right)=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(3x^2+3x+3\right)$  

Stąd  równanie sprowadza się do postaci:

$x-\frac{2}{3}=0\vee 3x^2+3x+3=0\mid :3$  

$x=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}{x}^2+x+1=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$  

równanie sprzeczne

Zatem równanie ma jedno rozwiązanie:

$\underline{\underline{x=\frac{2}{3}}}$  

---

c)

Rozwiązujemy równanie

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{4x^3-x^2-8x+2}}=0$  

Wielomian będący po lewej stronie powyższego równania rozkładamy na czynniki. Stosujemy metodę grupowania wyrazów:

  $w\left(x\right)=4x^3-x^2-8x+2=x^2\left(4x-1\right)-2\left(4x-1\right)=\left(4x-1\right)\left(x^2-2\right)$

Zatem równanie sprowadza się do postaci

$\left(4x-1\right)\left(x^2-2\right)=0$  

Czyli

$4x-1=0\vee x^2-2=0$  

$4x=1x^2=2$  

$x=\underline{\underline{\frac{1}{4}}}x=\underline{\underline{\sqrt{2}}}\vee x=\underline{\underline{-\sqrt{2}}}$  

Zatem równanie ma trzy rozwiązania:

  $\underline{\underline{x\in \left\{-\sqrt{2},\frac{1}{4},\sqrt{2}\right\}}}$  

---

d)

Rozwiązujemy równanie:

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{2x^3+3x^2+3x+1}}=0$  

Wielomian, który jest po lewej stronie równania rozkładamy na czynniki. Szukamy pierwiastka wymiernego wielomianu. Jeżeli taki istnieje, to jest on ułamkiem, którego licznik jest dzielnikiem liczby 1, a mianownik jest dzielnikiem 2. Mamy

$D_1=\left\{\pm 1\right\},D_2=\left\{\pm 1,\pm 2\right\}$  

Zatem jeżeli istnieje pierwiastek wymierny, to należy on do zbioru 

$\left\{\pm 1,\pm \frac{1}{2}\right\}$  

Sprawdzamy  x = - ¹/₂

$w\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3+3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1=$   

$=2\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{3}{4}-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\frac{6}{6}+\frac{4}{4}=0$  

Zatem x = - ¹/₂ jest pierwiastkiem wielomianu w. Na mocy Twierdzenia Bezouta ten wielomian jest podzielny przez dwumian (x + ¹/₂). Wykonujemy dzielenie stosując np. schemat Hornera.

	$2$	$3$	$3$	$1$
$-\frac{1}{2}$		$-1$	$-1$	$-1$
	$2$	$2$	$2$	$0$

Zatem wielomian w można zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników

$w\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(2x^2+2x+2\right)$  

Stąd  równanie sprowadza się do postaci:

$x+\frac{1}{2}=0\vee 2x^2+2x+2=0\mid :2$  

$x=\underline{\underline{-\frac{1}{2}}}{x}^2+x+1=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$  

równanie sprzeczne

Zatem równanie ma jedno rozwiązanie:

$\underline{\underline{x=-\frac{1}{2}}}$  

---

e)

Rozwiązujemy równanie

$x^4-2x^2-8=0$  

Mamy:

${\left(x^2\right)}^2-2x^2-8=0$  

Stosujemy podstawienie

$t=x^2,t\ge 0$  

Równanie sprowadza się do postaci

$t^2-2t-8=0$  

${\Delta }_t={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$  

$\sqrt{{\Delta }_t}=6$  

$t_1=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2<0$  

$t_2=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4\ge 0$  

Otrzymaliśmy tylko jedno rozwiązanie nieujemne. Wracamy do pierwotnej niewiadomej i otrzymujemy, że

$x^2=4$  

Stąd

$x=\underline{\underline{2}}\vee x=\underline{\underline{-2}}$  

Zatem równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-2,2\right\}}}$

---

f)

Rozwiązujemy równanie

$x^6+x^4-17x^2+15=0$  

Mamy:

${\left(x^2\right)}^3+{\left(x^2\right)}^2-17x^2+15=0$  

Stosujemy podstawienie

$t=x^2,t\ge 0$  

Równanie sprowadza się do postaci

$\underset{w\left(t\right)}{\underbrace{t^3+t^2-17t+15}}=0$  

Wielomian będący po lewej stronie równania rozkładamy na czynniki. Szukamy pierwiastka całkowitego wielomianu. Jeżeli taki istnieje, to jest  dzielnikiem liczby 15, co oznacza, że będzie należał on do zbioru

$D_{15}=\left\{\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\right\}$  

Sprawdzamy  t = 1:

$w\left(1\right)=1^3+1^2-17+15=-15+15=0$   

Zatem t = 1 jest pierwiastkiem wielomianu w. Na mocy Twierdzenia Bezouta ten wielomian jest podzielny przez dwumian (t-1). Wykonujemy dzielenie stosując np. schemat Hornera.

	$1$	$1$	$-17$	$15$
$1$		$1$	$2$	$-15$
	$1$	$2$	$-15$	$0$

Zatem wielomian w można zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników

$w\left(t\right)=\left(t-1\right)\left(t^2+2t-15\right)$  

Stąd  równanie sprowadza się do postaci:

$t-1=0\vee t^2+2t-15=0$  

$t=\underline{\underline{1}}{\Delta }_t=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64$  

  $\sqrt{{\Delta }_t}=8$   

$t_1=\frac{-2-8}{2}=\frac{-10}{2}=-5$  

$t_2=\frac{-2+8}{2}=\frac{6}{2}=\underline{\underline{3}}$  

Zgodnie z założeniem uwzględniamy wyłącznie rozwiązania nieujemne. Wracamy do pierwotnej niewiadomej i otrzymujemy równania:

$x^2=1\vee x^2=3$  

Stąd

$x=\underline{\underline{1}}\vee x=\underline{\underline{-1}}\vee x=\underline{\underline{\sqrt{3}}}\vee x=\underline{\underline{-\sqrt{3}}}$  

Równanie ma cztery rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-\sqrt{3},-1,1,\sqrt{3}\right\}}}$