Dla jakich wartości parametru m pierwiastkami równania...- Zadanie 64: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że równanie kwadratowe

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

ma dwa różne rozwiązania x₁ i x₂, gdy

$Δ > 0$

Rozwiązania te spełniają warunki

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} oraz x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Powyższe wzory nazywamy wzorami Viète'a.

Wyznaczamy wszystkie wartości parametru m, dla których pierwiastkami równania

$x^{2} - 2 m x - m^{2} - 2 m - 4 = 0$

Są dwie różne liczby ujemne x₁ oraz x₂, spełniające warunek:

$∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 42$

Przypomnijmy, że aby x₁ oraz x₂ były liczbami ujemnymi, to ich iloczyn musi być dodatni i jednocześnie ich suma musi być ujemna. Zatem dane równanie musi spełniać następujące warunki:

$⎩ ⎨ ⎧ 1 . Δ > 0 2 . x_{1} \cdot x_{2} > 0 3 . x_{1} + x_{2} < 0 4 . ∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 42$

Wyznaczmy wartości parametru m dla każdego z wyżej postawionych warunków.

$1 . Δ > 0$

Mamy:

$Δ = (- 2 m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- m^{2} - 2 m + 4) = 4 m^{2} + 4 m^{2} + 8 m - 16 = 8 m^{2} + 8 m - 16$

Otrzymujemy nierówność kwadratową:

$Δ 8 m^{2} + 8 m - 16 > 0 ∣ : 8$

$m^{2} + m - 2 > 0$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego, który jest po lewej stronie nierówności:

$m^{2} + m - 2 = 0$

$Δ_{m} = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9, Δ_{m} = 3$

$m_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$m_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi liczbowej. Współczynnik przy m² we wzorze trójmianu jest dodatni, więc ramiona paraboli będą skierowane ku górze.

Rysunek:

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności i otrzymujemy, że pierwszy z postawionych warunków spełniają liczby:

$m \in (- \infty; - 2) \cup (1; \infty)$

$2 . x_{1} \cdot x_{2} > 0$

Korzystamy ze wzoru Viete'a i dostajemy:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- m ^{2} - 2 m + 4}{1} = - m^{2} - 2 m + 4$

Wobec tego otrzymujemy nierówność kwadratową

$x_{1} \cdot x_{2} - m^{2} - 2 m + 4 > 0$

Wyznaczamy pierwiastki trójmianu, który jest po lewej stronie nierówności.

$- m^{2} - 2 m + 4 = 0$

$Δ_{m} = (- 2)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4 = 4 + 16 = 20$

$Δ_{m} = 20 = 4 \cdot 5 = 25$

$m_{1} = \frac{2 - 2 5}{- 2} = - 1 + 5$

$m_{2} = \frac{2 + 2 5}{- 2} = - 1 - 5$

Zaznaczamy otrzymane pierwiastki na osi liczbowej. Współczynnik przy m² we wzorze trójmianu jest ujemny, więc ramiona paraboli będą skierowane ku dołowi.

Rysunek:

Odczytujemy z wykresu zbiór rozwiązań nierówności i dostajemy, że drugi z postawionych warunków spełniają liczby:

$m \in (- 1 - 5; - 1 + 5)$

$3 . x_{1} + x_{2} < 0$

Korzystamy ze wzoru Viete'a i dostajemy:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{2 m}{1} = 2 m$

Wobec tego otrzymujemy nierówność

$x_{1} + x_{2} 2 m < 0$

Stąd

$m < 0$

Wobec tego trzeci z postawionych warunków spełniają liczby:

$m \in (- \infty; 0)$

$4 . ∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 42$

Zauważmy, że obie strony powyższej równości są dodatnie. Podnosimy je do kwadratu i otrzymujemy:

$∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 42 ∣^{2}$

$(x_{1} - x_{2})^{2} = (42)^{2}$

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dostajemy:

$x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 32$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{2} = 32$

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy powyższa równość przekształca się do

$(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 32$

Korzystamy ze wzorów Viete'a i mamy:

$(- \frac{b}{a})^{2} - 4 \cdot \frac{c}{a} = 32$

$\frac{b ^{2}}{a ^{2}} - 4 \frac{c}{a} = 32$

$\frac{b ^{2} - 4 a c Δ}{a ^{2}} = 32$

$\frac{Δ}{a ^{2}} = 32$

Zatem

$\frac{8 m ^{2} + 8 m - 16}{1 ^{2}} = 32$

$8 m^{2} + 8 m - 16 = 32 ∣ : 8$

$m^{2} + m - 2 = 4$

$m^{2} + m - 6 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ_{m} = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25$

$Δ_{m} = 25 = 5$

$m_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$m_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Zatem czwarty z postawionych warunków spełniają liczby:

$m \in {- 3, 2}$

Odpowiedzią do zadania jest część wspólna zbiorów, które otrzymaliśmy w rozważanych warunkach:

Mamy:

$⎩ ⎨ ⎧ 1 . Δ > 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty; - 2) \cup (1; \infty) 2 . x_{1} \cdot x_{2} > 0 \Leftrightarrow m \in (- 1 - 5; - 1 + 5) 3 . x_{1} + x_{2} < 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty; 0) 4 . ∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 42 \Leftrightarrow m \in {- 3, 2}$