Przypomnijmy, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa Pc jest równe sumie podwojonego pola podstawy Pp i pola powierzchni bocznej Pb graniastosłupa. $P_c=2P_p+P_b$

---

Wiemy, że podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny, którego kąt ostry ma miarę 60°. 

Rzut prostokątny przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego trapezu i ma długość   $2\sqrt{3}.$  

Wiemy również, że dwusieczna kąta ostrego trapezu tworzy z przekątną graniastosłupa kąt o  mierze 30°.

Wykonujemy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie, jak na rysunku.

Rysunek:

Wyznaczymy najpierw wysokość graniastosłupa. Rozważamy trójkąt prostokątny ACC₁. Jest to trójkąt o kątach o mierze 30° , 60° , 90° . Korzystając z własności długości boków w trójkącie o takich kątach, mamy:

$|AC|=H\sqrt{3}$   

$2\sqrt{3}=H\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

Stąd

  $H=2$    

Skoro dwusieczna kąta ostrego podstawy jest rzutem prostokątnym przekątnej graniastosłupa, to przekątna AC trapezu zawiera się w dwusiecznej. 

Z własności długości boków trójkąta mamy również, że 

$|A{C}_1|=2\cdot H=2\cdot 2=4$  

---

Wyznaczymy teraz długości krawędzi podstawy. Rysujemy trapez ABCD.

Rysunek:

Niech dłuższa podstawa trapezu ma długość a

Zauważmy, że trójkąt ACB jest trójkątem prostokątnym o kątach 30° , 60° , 90°

Stąd

$|CB|\cdot \sqrt{3}=|AC|$   

Zatem 

$|CB|\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$|CB|=2$  

Dłuższa podstawa AB trapezu ma długość

$a=2\cdot |CB|=2\cdot 2=4$  

Rozważamy teraz trójkąt prostokątny CEB. Jest to trójkąt o kątach o mierze 30° , 60° , 90° , zatem

$|CB|=2x$  

$2=2x$  

Czyli

$x=1$  

Mamy również z tego trójkąta, że wysokość trapezu CE jest równa

$\left|CE\right|=x\sqrt{3}=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$  

Wyznaczamy długość krótszej podstawy trapezu. Zauważmy, że długość dłuższej podstawy możemy zapisać jako

$a=b+2x$  

$4=b+2\cdot 1$  

$4=b+2$  

Stąd

$b=2$  

Otrzymaliśmy zatem, że krawędzie podstawy graniastosłupa mają długość 2, 2, 2, 4

---

Obliczamy pole podstawy

$P_p=\frac{\left(a+b\right)\cdot \left|CE\right|}{2}=\frac{\left(2+4\right)\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

Powierzchnia boczna składa się z czterech ścian, które są prostokątami. 

Pole powierzchni bocznej jest równe

$P_b=2\cdot 2+2\cdot 2+2\cdot 2+4\cdot 2=4+4+4+8=20$  

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wynosi zatem

$P_c=2\cdot P_p+P_b=2\cdot 3\sqrt{3}+20=\underline{\underline{6\sqrt{3}+20}}$