Przypomnijmy, że wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie $\left\{\left(x_1,p_1\right),\left(x_2,p_2\right),\dots ,\left(x_n,p_n\right)\right\}$   nazywamy liczbę  $EX,$  gdzie $EX=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\dots +x_n\cdot p_n$

---

Wiemy, że w talii złożonej z 24 kart złożonej z 

• 4 asów
• 4 króli
• 4 dam
• 4 waletów
• 4 dziesiątek 
• 4 dziewiątek

losujemy 4 karty. 

Zatem wszystkim możliwych zdarzeń elementarnych będzie:

$\left|\Omega \right|=\left(\begin{array}{c}24\\ 4\end{array}\right)=\frac{24!}{4!\cdot 20!}=\frac{20!\cdot 21\cdot 22\cdot 23\cdot \sout{24}}{\sout{24}\cdot 20!}=21\cdot 22\cdot 23=10626$  

X jest zmienną losową oznaczającą liczbę wyciągniętych asów. Z talii możemy wyciągnąć 0, 1, 2, 3 lub 4 asy, zatem przyjmuje ona pięć wartości: 0, 1, 2, 3 i 4.

Wyznaczamy rozkład zmiennej losowej X. 

W talii mamy 4 asy i 20 kart, które nie są asami. 

• 0 asów wyciągniemy w sytuacji, jeżeli spośród 20 kart, które nie są asami, wyciągniemy 4 karty. Liczba wszystkich możliwości takiego wyciągnięcia kart jest równa:

$\left(\begin{array}{c}20\\ 4\end{array}\right)=\frac{20!}{4!\cdot 16!}=\frac{16!\cdot 17\cdot {\sout{18}}^3\cdot 19\cdot {\sout{20}}^5}{1\cdot {\sout{2\cdot 3}}_1\cdot {\sout{4}}_1\cdot 16!}=17\cdot 3\cdot 19\cdot 5=4845$  

Zatem:

$P\left(X=0\right)=\frac{4845}{10626}$  

---

• 1 asa wyciągniemy w sytuacji, jeżeli wyciągniemy 1 spośród 4 asów i jednocześnie spośród 20 kart, które nie są asami, wyciągniemy 3 karty. Liczba wszystkich możliwości takiego wyciągnięcia kart jest równa:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)=4\cdot \frac{20!}{3!\cdot 17!}=4\cdot \frac{17!\cdot {\sout{18}}^3\cdot 19\cdot 20}{\sout{6}\cdot 17!}=4\cdot 3\cdot 19\cdot 20=4560$  

Zatem:

$P\left(X=1\right)=\frac{4560}{10626}$  

---

• 2 asy wyciągniemy w sytuacji, jeżeli wyciągniemy 2 spośród 4 asów i jednocześnie spośród 20 kart, które nie są asami, wyciągniemy 2 karty. Liczba wszystkich możliwości takiego wyciągnięcia kart jest równa:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)=\frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot \frac{20!}{2!\cdot 18!}=\frac{24}{4}\cdot \frac{18!\cdot 19\cdot {\sout{20}}^{10}}{{\sout{2}}_1\cdot 18!}=6\cdot 19\cdot 10=1140$  

Zatem:

$P\left(X=2\right)=\frac{1140}{10626}$  

---

• 3 asy wyciągniemy w sytuacji, jeżeli wyciągniemy 3 spośród 4 asów i jednocześnie spośród 20 kart, które nie są asami, wyciągniemy 1 kartę. Liczba wszystkich możliwości takiego wyciągnięcia kart jest równa:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right)=\frac{4!}{3!\cdot 1!}\cdot 20=\frac{3!\cdot 4}{1\cdot 3!}\cdot 20=4\cdot 20=80$  

Zatem:

$P\left(X=3\right)=\frac{80}{10626}$  

---

• 4 asy wyciągniemy w sytuacji, jeżeli wyciągniemy  wszystkie 4 spośród 4 asów. Liczba wszystkich możliwości takiego wyciągnięcia kart jest równa:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 0\end{array}\right)=1\cdot 1=1$  

Zatem:

$P\left(X=4\right)=\frac{1}{10626}$  

---

Stąd rozkład zmiennej losowej X jest następujący:

$\left\{\left(0,\frac{4845}{10626}\right),\left(1,\frac{4560}{10626}\right),\left(2,\frac{1140}{10626}\right),\left(3,\frac{80}{10626}\right),\left(4,\frac{1}{10626}\right)\right\}$  

---

Wyznaczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej X:

Stosujemy wzór na wartość oczekiwaną i mamy:

$EX=0\cdot \frac{4845}{10626}+1\cdot \frac{4560}{10626}+2\cdot \frac{1140}{10626}+3\cdot \frac{80}{10626}+4\cdot \frac{1}{10626}$  

$=\frac{4560}{10626}+\frac{2280}{10626}+\frac{240}{10626}+\frac{4}{10626}=\frac{7084}{10626}=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}$