Przypomnijmy, że Zmienną losową nazywamy każdą funkcję, która wszystkim zdarzeniom elementarnym z przestrzeni Ω przyporządkowuje pewne liczby rzeczywiste. Każdą przyporządkowaną w ten sposób liczbę rzeczywistą nazywamy wartością zmiennej losowej. Zmienne losowe oznaczamy zazwyczaj wielkimi literami X, Y, Z. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy zbiór par mających postać  $\left(x_i,p_i\right)\text{gdzie}i\in \left\{1,2,\dots ,n\right\}$   oraz xi jest wartością zmiennej losowej X, natomiast pi jest prawdopodobieństwem, z jakim wartość xi jest przyjmowana, czyli $p_i=P\left(X=x_i\right)$

---

Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Przestrzenią zdarzeń elementarnych będzie zbiór:

$\Omega =\left\{\left(a,b\right):a,b\in \left\{1,2,3,4,5,6\right\}\right\},\left|\Omega \right|=6\cdot 6=\underline{\underline{36}}$  

Zauważmy, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

---

a)

Rozważamy zmienną losową X, gdzie X oznacza sumę liczb otrzymanych oczek. 

Najmniejsza suma, jaką możemy otrzymać, jest równa 2 (wypadły dwie jedynki), a największa wynosi 12 (wypadły dwie szóstki).  Stąd zmienna losowa X przyjmuje wyłącznie wartości ze zbioru  

  $\left\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}$  

 

• Sumę równą 2 otrzymamy w jednym przypadku: (1, 1)

Zatem:

$P\left(X=2\right)=P\left(\left\{\left(1,1\right)\right\}\right)=\frac{1}{36}$  

• Sumę równą 3 otrzymamy w dwóch przypadkach: (1, 2), (2, 1)

Zatem:

$P\left(X=3\right)=P\left(\left\{\left(1,2\right),\left(2,1\right)\right\}\right)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$  

• Sumę równą 4 otrzymamy w trzech przypadkach: (1, 3), (2, 2), (3, 1)

Zatem:

$P\left(X=4\right)=P\left(\left\{\left(1,3\right),\left(2,2\right),\left(3,1\right)\right\}\right)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$  

• Sumę równą 5 otrzymamy w czterech przypadkach: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

Zatem:

$P\left(X=5\right)=P\left(\left\{\left(1,4\right),\left(2,3\right),\left(3,2\right),\left(4,1\right)\right\}\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$  

• Sumę równą 6 otrzymamy w pięciu przypadkach: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

Zatem:

$P\left(X=6\right)=P\left(\left\{\left(1,5\right),\left(2,4\right),\left(3,3\right),\left(4,2\right),\left(5,1\right)\right\}\right)=\frac{5}{36}$  

• Sumę równą 7 otrzymamy w sześciu przypadkach: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

Zatem:

$P\left(X=7\right)=P\left(\left\{\left(1,6\right),\left(2,5\right),\left(3,4\right),\left(4,3\right),\left(5,2\right),\left(6,1\right)\right\}\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$  

• Sumę równą 8 otrzymamy w pięciu przypadkach: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)

Zatem:

$P\left(X=8\right)=P\left(\left\{\left(2,6\right),\left(3,5\right),\left(4,4\right),\left(5,3\right),\left(6,2\right)\right\}\right)=\frac{5}{36}$  

• Sumę równą 9 otrzymamy w czterech przypadkach: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)

Zatem:

$P\left(X=9\right)=P\left(\left\{\left(3,6\right),\left(4,5\right),\left(5,4\right),\left(6,3\right)\right\}\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$  

• Sumę równą 10 otrzymamy w trzech przypadkach: (4, 6), (5, 5), (6, 4)

Zatem:

$P\left(X=10\right)=P\left(\left\{\left(4,6\right),\left(5,5\right),\left(6,4\right)\right\}\right)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$  

• Sumę równą 11 otrzymamy w dwóch przypadkach: (5, 6), (6, 5)

Zatem:

$P\left(X=11\right)=P\left(\left\{\left(5,6\right),\left(6,5\right)\right\}\right)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

• Sumę równą 12 otrzymamy w jednym przypadku: (6, 6)

Zatem:

$P\left(X=12\right)=P\left(\left\{\left(6,6\right)\right\}\right)=\frac{1}{36}$

 

Stąd rozkład zmiennej losowej X jest następujący

  $\{\left(2,\frac{1}{36}\right),\left(3,\frac{1}{18}\right),\left(4,\frac{1}{12}\right),\left(5,\frac{1}{9}\right),\left(6,\frac{5}{36}\right),\left(7,\frac{1}{6}\right),$  

$\left(8,\frac{5}{36}\right),\left(9,\frac{1}{9}\right),\left(10,\frac{1}{12}\right),\left(11,\frac{1}{18}\right),\left(12,\frac{1}{36}\right)\}$  

---

b)

Rozważamy zmienną losową Y, gdzie Y oznacza nieujemną różnicę liczb otrzymanych oczek. 

Najmniejsza różnica, jaką możemy otrzymać, jest równa 0 (na obu kostkach wypadła taka sama liczba oczek), a największa wynosi 5 (wypadła szóstka i jedynka).  Stąd zmienna losowa Y przyjmuje wyłącznie wartości ze zbioru

$\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$  

• Różnicę równą 0 otrzymamy, gdy na obu kostkach wypadła taka sama liczba oczek, czyli w następujących sześciu przypadkach:

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 

Zatem

$P\left(Y=0\right)=P\left(\left\{\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right),\left(4,4\right),\left(5,5\right),\left(6,6\right)\right\}\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$  

• Różnicę równą 1 otrzymamy, gdy na  kostkach wypadły liczby różniące się o 1, czyli w następujących dziesięciu przypadkach:

(1, 2), (2, 1),    (2, 3), (3, 2),   (3, 4), (4, 3),  (4, 5), (5, 4),    (5, 6), (6, 5) 

Zatem

$P\left(Y=1\right)=P\left(\left\{\left(1,2\right),\left(2,1\right),\left(2,3\right),\left(3,2\right),\left(3,4\right),\left(4,3\right)\left(4,5\right),\left(5,4\right),\left(5,6\right),\left(6,5\right)\right\}\right)$  

$=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$  

• Różnicę równą 2 otrzymamy, gdy na  kostkach wypadły liczby różniące się o 2, czyli w następujących ośmiu przypadkach:

(1, 3), (3, 1),    (2, 4), (4, 2),   (3, 5), (5, 3),   (4, 6), (6, 4)  

Zatem

$P\left(Y=2\right)=P\left(\left\{\left(1,3\right),\left(3,1\right),\left(2,4\right),\left(4,2\right),\left(3,5\right),\left(5,3\right),\left(4,6\right),\left(6,4\right)\right\}\right)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$  

• Różnicę równą 3 otrzymamy, gdy na  kostkach wypadły liczby różniące się o 3, czyli w następujących sześciu przypadkach:

(1, 4), (4, 1),    (2, 5), (5, 2),   (3, 6), (6, 3) 

Zatem

$P\left(Y=3\right)=P\left(\left\{\left(1,4\right),\left(4,1\right),\left(2,5\right),\left(5,2\right),\left(3,6\right),\left(6,3\right)\right\}\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$  

• Różnicę równą 4 otrzymamy, gdy na  kostkach wypadły liczby różniące się o 4, czyli w następujących czterech przypadkach:

(1, 5), (5, 1),    (2, 6), (6, 2)

Zatem

$P\left(Y=4\right)=P\left(\left\{\left(1,5\right),\left(5,1\right),\left(2,6\right),\left(6,2\right)\right\}\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$  

• Różnicę równą 5 otrzymamy, gdy na  kostkach wypadły liczby różniące się o 5, czyli w następujących dwóch przypadkach:

(1, 6),  (6, 1)

Zatem

$P\left(Y=5\right)=P\left(\left\{\left(1,6\right),\left(6,1\right)\right\}\right)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$  

Stąd rozkład zmiennej losowej Y jest następujący:

$\left\{\left(0,\frac{1}{6}\right),\left(1,\frac{5}{18}\right),\left(2,\frac{2}{9}\right),\left(3,\frac{1}{6}\right),\left(4,\frac{1}{9}\right),\left(5,\frac{1}{18}\right)\right\}$