Przypomnijmy, że wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie $\left\{\left(x_1,p_1\right),\left(x_2,p_2\right),\dots ,\left(x_n,p_n\right)\right\}$   nazywamy liczbę  $EX,$  gdzie $EX=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\dots +x_n\cdot p_n$ Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę  $D^{2}X$   $D^{2}X={\left(x_1-EX\right)}^2\cdot p_1+{\left(x_2-EX\right)}^2\cdot p_2+\dots +{\left(x_n-EX\right)}^2\cdot p_n$   Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy liczbę  ${\sigma }_X,$  która jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z wariacji zmiennej losowej X. ${\sigma }_X=\sqrt{{\left(x_1-EX\right)}^2\cdot p_1+{\left(x_2-EX\right)}^2\cdot p_2+\dots +{\left(x_n-EX\right)}^2\cdot p_n}$  Jeżeli wartość oczekiwana wygranej w pewnej grze jest równa 0, to taką grę nazywamy grą sprawiedliwą.

---

Rzucamy trzema monetami, zatem przestrzenią zdarzeń elementarnych będzie zbiór:

$\Omega =\left\{\text{OOO},\text{OOR},\text{ORO},\text{ROO},\text{ORR},\text{ROR},\text{RRO},\text{RRR}\right\}$  

gdzie

O - w pojedynczym rzucie wypadł orzeł

R  - w pojedynczym rzucie wypadła reszka

wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

---

Z treści zadania wiemy, że jeśli wypadnie przynajmniej 1 (czyli 1, 2 lub 3) orły, to wygrywamy dwa razy więcej złotych, niż wyniosła liczba otrzymanych orłów, czyli możemy wygrać odpowiednio 2, 4 lub 6 zł.  Jeżeli wypadną same reszki, to przegrywamy 24 zł ( przyjmujemy w tym przypadku, że wygrywamy -24 zł). 

Niech X będzie zmienną losową oznaczającą wartość wygranej w tej grze (w złotówkach). Przyjmuje ona cztery wartości: 2, 4, 6 i -24. 

Wyznaczamy rozkład tej zmiennej losowej. 

• jednego orła (czyli wygraną w wysokości 2٠1 =2) możemy otrzymać w trzech przypadkach: ORR, ROR, RRO

Zatem:

$P\left(X=2\right)=P\left(\left\{\text{ORR},\text{ROR},\text{RRO}\right\}\right)=\frac{3}{8}$  

• dwa orły (czyli wygraną w wysokości 2٠2 =4) możemy otrzymać w trzech przypadkach: ROO, ORO, ORR

Zatem:

$P\left(X=4\right)=P\left(\left\{\text{ROO},\text{ORO},\text{ORR}\right\}\right)=\frac{3}{8}$  

• trzy orły (czyli wygraną w wysokości 2٠3 =6) możemy otrzymać w jednym przypadku: OOO

Zatem:

$P\left(X=6\right)=P\left(\left\{\text{OOO}\right\}\right)=\frac{1}{8}$  

• trzy reszki (czyli wygraną w wysokości -24) możemy otrzymać w jednym przypadku: RRR

Zatem:

$P\left(X=-24\right)=P\left(\left\{\text{RRR}\right\}\right)=\frac{1}{8}$  

Stąd rozkład zmiennej losowej X jest następujący:

$\left\{\left(2,\frac{3}{8}\right),\left(4,\frac{3}{8}\right),\left(6,\frac{1}{8}\right),\left(-24,\frac{1}{8}\right)\right\}$  

---

a)

Wyznaczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej X ( wartość oczekiwaną wygranej w grze).

Ze wzoru na wartość oczekiwaną mamy:

$EX=2\cdot \frac{3}{8}+4\cdot \frac{3}{8}+6\cdot \frac{1}{8}+\left(-24\right)\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}-3=\frac{12}{4}-3=3-3=\underline{\underline{0}}$  

Wartość oczekiwana wygranej w tej grze jest równa 0, zatem jest to gra sprawiedliwa.

---

b)

Obliczamy wariancję zmiennej losowej X:

$D^{2}X={\left(2-0\right)}^2\cdot \frac{3}{8}+{\left(4-0\right)}^2\cdot \frac{3}{8}+{\left(6-0\right)}^2\cdot \frac{1}{8}+{\left(-24-0\right)}^2\cdot \frac{1}{8}=$  

$=4\cdot \frac{3}{8}+16\cdot \frac{3}{8}+36\cdot \frac{1}{8}+576\cdot \frac{1}{8}=\frac{12}{8}+\frac{48}{8}+\frac{36}{8}+\frac{576}{8}$  

$=\frac{672}{8}=\underline{\underline{84}}$  

Odchylenie standardowe zmiennej losowej X jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji tej zmiennej losowej, więc

  ${\sigma }_X=\sqrt{84}$  

Oznacza to, że wynik będzie odchylał się średnio o  $\sqrt{84},$  czyli o około 9,17 od wartości oczekiwanej wygranej.