a) 

Obliczamy, ile jest czterocyfrowych liczb nieparzystych, o różnych cyfrach. 

Skoro liczba ma być nieparzysta, to ostatnią cyfrę (cyfrę jedności) możemy wybrać na 5 sposobów (będzie to cyfra 1, 3, 5, 7 lub 9). Pierwszą cyfrą nie może być 0 oraz cyfra, którą już wybraliśmy na cyfrę jedności, zatem w tym przypadku mamy  10 - 2 = 8 możliwości. Pozostały do wyboru 2 cyfry. Na pierwszą z nich mamy 8 możliwości (dwie cyfry już zostały przez nas użyte), a na kolejną o jedną możliwość mniej, czyli 7. Korzystamy z reguły mnożenia i mamy:

$5\cdot 8\cdot 8\cdot 7=\underline{\underline{2240\text{liczb}}}$  

---

b)

Obliczamy, ile jest czterocyfrowych liczb parzystych, o różnych cyfrach. 

Rozważamy dwa przypadki:

I. Ostatnią cyfrą jest 0:

Zakładamy, że ostatnia cyfra (cyfra jedności) jest równa 0, zatem możemy ją wybrać na 1 sposób. Wyboru pierwszej cyfry możemy dokonać na 9 sposobów. Cyfry nie mogą się powtarzać, więc na każdą kolejną cyfrę będzie przypadać o 1 możliwość mniej. Korzystamy z reguły mnożenia i mamy:

$1\cdot 9\cdot 8\cdot 7=\underline{\underline{504}}\text{liczby}$  

II. Ostatnią cyfrą  nie jest 0:

Zakładamy, że ostatnia cyfra (cyfra jedności) nie jest równa 0. Liczba ma być parzysta, zatem pozostają nam 4 możliwości (cyfry 2, 4, 6, 8). Oznacza to, że cyfrę jedności możemy wybrać  na 4 sposoby. Wyboru pierwszej cyfry możemy dokonać na 8 sposobów (nie może być to wybrana już cyfra jedności oraz 0). Pozostały nam do dobrania dwie cyfry. Pierwszą z nich możemy wybrać na 8 sposobów (użyliśmy już dwóch cyfr z dziesięciu możliwych).  Cyfry nie mogą się powtarzać, więc na kolejną cyfrę będzie przypadać o 1 możliwość mniej. Korzystamy z reguły mnożenia i mamy:

$4\cdot 8\cdot 8\cdot 7=\underline{\underline{1792}}\text{liczby}$  

Korzystamy z reguły dodawania i mamy ostatecznie:

$504+1792=\underline{\underline{2296}}\text{liczb}$  

---

c)

Obliczamy, ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, większych od 2000.  

Zauważmy, że skoro cyfry nie mogą się powtarzać i liczby mają być większe od 2000, to pierwsza cyfra powinna być większa bądź równa 2.  Zatem możemy ją wybrać na 8 sposobów. Drugą cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów (nie możemy użyć wybranej już wcześniej cyfry). Cyfry nie mogą się powtarzać, więc na kolejną cyfrę będzie przypadać o 1 możliwość mniej. Korzystamy z reguły mnożenia i mamy:

$8\cdot 9\cdot 8\cdot 7=\underline{\underline{4032}}\text{liczby}$  

 

---

d)

Obliczamy, ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, mniejszych od 4502. 

Rozważamy trzy przypadki:

I. Liczby mniejsze bądź równe 3999

Pierwszą cyfrą (cyfrą tysięcy) może być jedna z trzech cyfr (1, 2 lub 3). Cyfrą setek może być dowolna z 9 pozostałych cyfr (inna cyfra niż cyfra tysięcy). Cyfrą dziesiątek może być jedna z 8 pozostałych cyfr (różna od cyfry tysięcy i setek). Na ostatnią cyfrę, cyfrę jedności mamy o 1 możliwość mniej - łącznie 7 możliwości 

Korzystamy z reguły mnożenia i mamy:

$3\cdot 9\cdot 8\cdot 7=\underline{\underline{1512}}\text{liczb}$  

II. Liczby większe bądź równe 4000 i mniejsze od 4500 

Cyfrą tysięcy jest 4 zatem mamy 1 możliwość. Cyfrą setek jest 1 z 4 cyfr (0, 1, 2, 3). Cyfrą dziesiątek będzie jedna z 8 pozostałych cyfr (różna od cyfry tysięcy i cyfry setek). Na cyfrę jedności przypada o 1 możliwość mniej - łącznie 7 możliwości.

Korzystamy z reguły mnożenia i mamy:

$1\cdot 4\cdot 8\cdot 7=\underline{\underline{224}}\text{liczby}$  

III. Liczby większe bądź równe 4500 i mniejsze od 4502 

Tylko dwie liczby: 4500 i 4501 spełniają powyższy warunek, jednak warunek, że cyfry mają być różne, spełnia wyłącznie 1 liczba - 4501.

Zatem z III.  przypadku mamy wyłącznie 1 liczbę.

Korzystamy z reguły dodawania i otrzymujemy ostatecznie:

$1512+224+1=\underline{\underline{1737\text{liczb.}}}$  

Uwaga:  Odpowiedź do podpunktu d), która jest podana w podręczniku, jest błędna.