Obliczymy, ile jest liczb 10-cyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 16. 

Liczba 16 jest iloczynem dziesięciu liczb naturalnych mniejszych od 10 w czterech przypadkach.

---

I przypadek:    $16=8\cdot 2\cdot \underset{8\text{razy}}{\underbrace{1\cdot 1\cdot \dots 1}}$

W tej sytuacji 10-cyfrowa liczba ma w swoim zapisie jedną cyfrę 8, jedną cyfrę 2 oraz osiem 1. 

Wybieramy  dla ośmiu 1  miejsca spośród 10 miejsc na   $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$  

Pozostały nam 2 miejsca. Miejsce dla 8 można wybrać na  $2\text{sposoby}$  

Miejsce dla cyfry 2 możemy wówczas wybrać na  $1\text{sposoˊb}$   

Mamy: 

   $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\cdot 2\cdot 1=\frac{10!}{8!\cdot 2!}\cdot 2=\frac{\cancel{8!}\cdot 9\cdot 10}{\cancel{8!}\cdot {\cancel{2}}_1}{\cancel{2}}^1\cdot 1=\underline{\underline{90\text{takich liczb}}}$  

---

II przypadek:    $16=4\cdot 4\cdot \underset{8\text{razy}}{\underbrace{1\cdot 1\cdot \dots 1}}$

W tej sytuacji 10-cyfrowa liczba ma w swoim zapisie dwie cyfry 4  oraz osiem 1. 

Wybieramy  dla ośmiu 1  miejsca spośród 10 miejsc na   $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$  

Pozostały nam 2 miejsca. Miejsce dla 4 można wybrać na  $1\text{sposoˊb}$  

Mamy:

   $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\cdot 1=\frac{10!}{8!\cdot 2!}=\frac{\cancel{8!}\cdot 9\cdot {\cancel{10}}^5}{\cancel{8!}\cdot {\cancel{2}}_1}=\underline{\underline{45\text{takich liczb}}}$  

---

III przypadek:    $16=4\cdot 2\cdot 2\cdot \underset{7\text{razy}}{\underbrace{1\cdot 1\cdot \dots 1}}$

W tej sytuacji 10-cyfrowa liczba ma w swoim zapisie jedną cyfrę 4, dwie cyfry 2 oraz siedem 1. 

Wybieramy  dla siedmiu 1  miejsca spośród 10 miejsc na   $\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$  

Pozostały nam 3 miejsca. Miejsce dla 4 można wybrać na  $3\text{sposoby}$  

Miejsce dla dwóch 2 możemy wówczas wybrać na  $1\text{sposoˊb}$  

Mamy:

   $\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)\cdot 3\cdot 1=\frac{10!}{7!\cdot 3!}\cdot 2=\frac{\cancel{7!}\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{\cancel{7!}\cdot {\cancel{6}}_2}{\cancel{3}}^1\cdot 1=\underline{\underline{360\text{takich liczb}}}$

---

 

IV przypadek:    $16=\underset{4\text{razy}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}\cdot \underset{6\text{razy}}{\underbrace{1\cdot 1\cdot \dots 1}}$

W tej sytuacji 10-cyfrowa liczba ma w swoim zapisie cztery cyfry 2 oraz sześć 1. 

Wybieramy  dla sześciu 1  miejsca spośród 10 miejsc na   $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$  

Dwójki na pozostałych miejscach ustawimy na    $1\text{sposoˊb}$  

Mamy:

   $\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\cdot 1=\frac{10!}{6!\cdot 4!}\cdot 2=\frac{\cancel{6!}\cdot 7\cdot \cancel{8}\cdot {\cancel{9}}^3\cdot 10}{\cancel{6!}\cdot 1\cdot \cancel{2}\cdot {\cancel{3}}_1\cdot \cancel{4}}=7\cdot 10\cdot 3=\underline{\underline{210\text{takich liczb}}}$

---

Sumujemy liczby w otrzymanych przypadkach:

$90+45+360+210=\underline{\underline{705}}$  

Jest 705 liczb dziesięciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 16.