Obliczymy, ile jest liczb 8-cyfrowych, których suma cyfr jest równa 5. 

Liczba 5 jest sumą 8 liczb naturalnych mniejszych od 10 w siedmiu przypadkach:

• $5+\underset{7\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$
• $\underset{5\text{razy}}{\underbrace{1+1+1+1+1}}+\underset{3\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$  
• $\underset{3\text{razy}}{\underbrace{1+1+1}}+2+\underset{4\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$  
• $\underset{2\text{razy}}{\underbrace{1+1}}+3+\underset{5\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$  
•   $1+4+\underset{6\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$  
• $\underset{2\text{razy}}{\underbrace{2+2}}+1+\underset{5\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$  
•   $3+2+\underset{6\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$  

---

I przypadek:    $5=5+\underset{7\text{razy}}{\underbrace{0+0+\dots 0}}$

W tej sytuacji liczba ośmiocyfrowa ma w swoim zapisie jedną cyfrę 5 oraz siedem 0.

Liczba nie może zaczynać się od 0, zatem pierwszą cyfrą w jej zapisie będzie 5, a pozostałe cyfry będą równe 0. 

Mamy zatem   $\underline{\underline{1\text{taką liczbę}}}$  

---

II przypadek:    $5=\underset{5\text{razy}}{\underbrace{1+1+1+1+1}}+\underset{3\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$

W tej sytuacji liczba ośmiocyfrowa ma w swoim zapisie pięć jedynek oraz trzy 0.

Liczba nie może zaczynać się od 0, zatem wybieramy 3 miejsca dla cyfry 0 spośród 7 dostępnych miejsc na  

$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$

Pięć 1 ustawimy na pozostałych miejscach na  $1\text{sposoˊb}$   

Mamy: 

   $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)\cdot 1=\frac{7!}{3!\cdot 4!}=\frac{\cancel{4!}\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{6\cdot \cancel{4!}}=5\cdot 7=\underline{\underline{35\text{takich liczb}}}$  

---

III przypadek:    $5=\underset{3\text{razy}}{\underbrace{1+1+1}}+2+\underset{4\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$

W tej sytuacji liczba ośmiocyfrowa ma w swoim zapisie trzy jedynki, jedną cyfrę 2  oraz cztery 0.

Liczba nie może zaczynać się od 0, zatem wybieramy 4 miejsca dla cyfry 0 spośród 7 dostępnych miejsc na

$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$

Pozostały 4 miejsca. Miejsce na cyfrę 2 wybieramy na    $4\text{sposoby}$  

Pozostałe miejsca zajmują 1 na     $1\text{sposoˊb}$  

Mamy: 

   $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)\cdot 4\cdot 1=\frac{7!}{4!\cdot 3!}\cdot 4=\frac{\cancel{4!}\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{\cancel{4!}\cdot 6}\cdot 4=5\cdot 7\cdot 4=\underline{\underline{140\text{takich liczb}}}$   

---

IV przypadek:    $5=\underset{2\text{razy}}{\underbrace{1+1}}+3+\underset{5\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$

W tej sytuacji liczba ośmiocyfrowa ma w swoim zapisie dwie jedynki, jedną cyfrę 3  oraz pięć 0.

Liczba nie może zaczynać się od 0, zatem wybieramy 5 miejsc dla cyfry 0 spośród 7 dostępnych miejsc na  

$\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$

Pozostały 3 miejsca. Miejsce na cyfrę 3 wybieramy na    $3\text{sposoby}$  

Pozostałe miejsca zajmują 1 na     $1\text{sposoˊb}$  

Mamy: 

   $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)\cdot 3\cdot 1=\frac{7!}{5!\cdot 2!}\cdot 3=\frac{\cancel{5!}\cdot {\cancel{6}}^3\cdot 7}{\cancel{5!}\cdot {\cancel{2}}_1}\cdot 3=3\cdot 7\cdot 3=\underline{\underline{63\text{takie liczby}}}$  

---

V przypadek:    $5=1+4+\underset{6\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$

W tej sytuacji liczba ośmiocyfrowa ma w swoim zapisie jedną cyfrę 4, jedną 6 oraz sześć 0.

Liczba nie może zaczynać się od 0, zatem wybieramy 6 miejsc dla cyfry 0 spośród 7 dostępnych miejsc na  

$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$

Pozostały 2 miejsca. Miejsce na cyfrę 1 wybieramy na    $2\text{sposoby}$  

Pozostałe miejsce zajmują 4  na     $1\text{sposoˊb}$  

Mamy: 

   $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right)\cdot 2\cdot 1=\frac{7!}{6!\cdot 1!}\cdot 2=\frac{\cancel{6!}\cdot 7}{\cancel{6!}\cdot 1}\cdot 2=7\cdot 2=\underline{\underline{14\text{takich liczb}}}$

---

VI przypadek:    $5=\underset{2\text{razy}}{\underbrace{2+2}}+1+\underset{5\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$

W tej sytuacji liczba ośmiocyfrowa ma w swoim zapisie dwie cyfry 2, jedną 1 oraz pięć 0.

Liczba nie może zaczynać się od 0, zatem wybieramy 5 miejsc dla cyfry 0 spośród 7 dostępnych miejsc na  

$\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$

Pozostały 3 miejsca. Miejsce na cyfrę 1 wybieramy na    $3\text{sposoby}$  

Pozostałe miejsca zajmują 2 na    $1\text{sposoˊb}$  

Mamy: 

   $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)\cdot 3\cdot 1=\frac{7!}{5!\cdot 2!}\cdot 3=\frac{\cancel{5!}\cdot {\cancel{6}}^3\cdot 7}{\cancel{5!}\cdot {\cancel{2}}_1}\cdot 3=3\cdot 7\cdot 3=\underline{\underline{63\text{takie liczby}}}$

---

VII przypadek:    $5=3+2+\underset{6\text{razy}}{\underbrace{0+0\dots +0}}$

W tej sytuacji liczba ośmiocyfrowa ma w swoim zapisie jedną cyfrę 2, jedną 3 oraz sześć 0.

Liczba nie może zaczynać się od 0, zatem wybieramy 6 miejsc dla cyfry 0 spośród 7 dostępnych miejsc na  

$\left(\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$

Pozostały 2 miejsca. Miejsce na cyfrę 2 wybieramy na    $2\text{sposoby}$  

Pozostałe miejsce zajmuje 3 na   $1\text{sposoˊb}$  

Mamy: 

   $\left(\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right)\cdot 2\cdot 1=\frac{7!}{6!\cdot 1!}\cdot 2=\frac{\cancel{6!}\cdot 7}{\cancel{6!}\cdot 1}\cdot 2=7\cdot 2=\underline{\underline{14\text{takich liczb}}}$

---

Sumujemy liczby otrzymane we wszystkich przypadkach:

$1+35+140+63+14+63+14=\underline{\underline{330}}$   

Odp: Jest 330 liczb ośmiocyfrowych, których suma cyfr jest równa 5.