Przypomnijmy, że: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot \left(n-1\right)\cdot n,\text{jesˊli}n\in \mathbb{N}\text{i}n>1$   Przyjmujemy dodatkowo, że $0!=1$   $1!=1$   $\text{Jesˊli}k\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\text{oraz}\text{k}\le n,\text{to}$   $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}$

---

Z treści zadania wiemy, że na płaszczyźnie mamy n punktów, z których dowolne trzy nie są współliniowe. Wiemy również, że przez te punkty można poprowadzić 105 różnych prostych. 

Przypomnijmy, że przez dowolne dwa punkty na płaszczyźnie możemy poprowadzić dokładnie jedną prostą.  Skoro dowolne trzy punkty nie są współliniowe, to każdy wybór 2 spośród n punktów będzie odpowiadał dokładnie jednej prostej. 

2 spośród n punktów możemy wybrać na  $\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\text{sposoboˊw}$   

Zatem wszystkich różnych prostych, które można poprowadzić przez te punkty będzie  $\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)$  

Otrzymujemy:

$\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)=105,n\in \mathbb{N},n\ge 2$  

$\frac{n!}{2!\cdot \left(n-2\right)!}=105$  

$\frac{\left(n-2\right)!\cdot \left(n-1\right)\cdot n}{2\cdot \left(n-2\right)!}=105$  

$\frac{\left(n-1\right)\cdot n}{2}=108\mid \cdot 2$  

$\left(n-1\right)\cdot n=105\cdot 2$  

$n^2-n=210$  

$n^2-n-210=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-210\right)=1+4\cdot 216=1+840=841={29}^2$  

$n_1=\frac{1-29}{2}=\frac{-28}{2}=-14\notin \mathbb{N}$  

$n_2=\frac{1+29}{2}=\frac{30}{2}=\underline{\underline{15}}\in \mathbb{N}$  

Zatem:

$\underline{\underline{n=15}}$  

---