Losujemy jedną kartę z talii 52 kart. Wówczas

$\left|\Omega \right|=52$

Mamy

A - wylosowano asa
B - wylosowano pika

Wśród 52 kart w talii są 4 asy i 13 pików, więc

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{4}{52}$  

$P\left(B\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{13}{52}$

Najpierw zapiszemy symbolicznie zdarzenia z podpunktów a), b), c) i d), a następnie obliczymy ich prawdopodobieństwa.

 

 

a) 

Zauważmy, że "wylosowaną kartą będzie as lub pik" to to samo, co "wylosowaną kartą będzie as lub wylosowaną kartą będzie pik", czyli to:

$\underline{\underline{\mathbf{A}\cup \mathbf{B}}}$  

b)

Zauważmy, że "wylosowaną kartą będzie as pik" to to samo, co "wylosowaną kartą będzie as i jednocześnie pik", czyli to A∩B.

$\underline{\underline{\mathbf{A}\cap \mathbf{B}}}$  

c) 

Zauważmy, że

• "wylosowaną kartą nie będzie as" to A'
• "wylosowaną kartą nie będzie pik" to B'

Ponadto "wylosowaną kartą nie będzie as ani pik" to to samo, co "wylosowaną kartą nie będzie as i nie będzie nią pik", czyli to:

$\underline{\underline{\mathbf{A}{}^{\prime }\cap \mathbf{B}{}^{\prime }}}$  

d)

Zauważmy, że

• "wylosowaną kartą nie będzie pik" to B'

Ponadto "wylosowaną kartą nie będzie as pik" to to samo, co "wylosowaną kartą będzie dowolna karta poza asem pik".

Skoro ustaliliśmy już, że

A∩B - wylosowaną kartą będzie as pik

to oznacza, że "wylosowaną kartą nie będzie as pik" to zdarzenie przeciwne do A∩B , czyli to:

$\underline{\underline{\left(\mathbf{A}\cap \mathbf{B}\right){}^{\prime }}}$  

---

Aby uprościć obliczenia, prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń obliczymy w kolejności innej niż sugeruje to kolejność podpunktów.

b)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia:

A∩B - wylosowaną kartą będzie as pik

Wśród 52 kart jest tyko 1 as pik, a jego wylosowanie sprzyja zdarzeniu A∩B. Zatem

$P\left(A\cap B\right)=\frac{\left|A\cap B\right|}{\left|\Omega \right|}=\underline{\underline{\frac{1}{52}}}$

 

a)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia:

A∪B - wylosowaną kartą będzie as lub pik

Wiemy, że dla dowolnych zdarzeń A i B prawdziwy jest wzór:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

Zatem skoro

$P\left(A\right)=\frac{4}{52}$

$P\left(B\right)=\frac{13}{52}$   

$P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{52}$

to

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\underline{\underline{\frac{4}{13}}}$  

 

d)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia:

(A∩B)' - wylosowaną kartą nie będzie as pik

Wiemy już, że

A∩B - wylosowaną kartą będzie as pik

oraz

$P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{52}$

Ponadto wiemy, że 

$\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap B\right){}^{\prime }=\Omega$  

czyli 

$P\left(\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap B\right){}^{\prime }\right)=P\left(\Omega \right)=1$  

Dodatkowo wiemy, że zdarzenia A∩B  oraz (A∩B )' się wykluczają, więc

$P\left(\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap B\right){}^{\prime }\right)=P\left(\left(A\cap B\right)\right)+P\left(\left(A\cap B\right)\right)$

Korzystając z powyższych spostrzeżeń, otrzymujemy

$1=\frac{1}{52}+P\left(\left(A\cap B\right){}^{\prime }\right)$

czyli ostatecznie

$P\left(\left(A\cap B\right){}^{\prime }\right)=1-\frac{1}{52}=\underline{\underline{\frac{51}{52}}}$

 

c) 

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia:

A'∩B' - wylosowaną kartą nie będzie as ani pik

Wśród 52 kart jest 13 kart pik (w tym as) i 3 asy, które nie są pikami. Wylosowanie każdej z pozostałych kart sprzyja zdarzeniu A'∩B'. Zatem

$\left|A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right|=52-\left(13+3\right)=52-16=36$  

$P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)=\frac{\left|A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{36}{52}=\underline{\underline{\frac{9}{13}}}$