Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych możemy określić następująco

$\Omega =\{\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(1,5\right),\left(1,6\right),$  
$\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right),\left(2,5\right),\left(2,6\right),$
$\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right),\left(3,4\right),\left(3,5\right),\left(3,6\right),$
$\left(4,1\right),\left(4,2\right),\left(4,3\right),\left(4,4\right),\left(4,5\right),\left(4,6\right),$
$\left(5,1\right),\left(5,2\right),\left(5,3\right),\left(5,4\right),\left(5,5\right),\left(5,6\right),$
$\left(6,1\right),\left(6,2\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)\}$

Rozważmy zdarzenia A, B i C.

A - suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą

Zatem

$A=\{\left(1,1\right),\left(1,3\right),\left(1,5\right),$
$\left(2,2\right),\left(2,4\right),\left(2,6\right),$
$\left(3,1\right),\left(3,3\right),\left(3,5\right),$
$\left(4,2\right),\left(4,4\right),\left(4,6\right),$
$\left(5,1\right),\left(5,3\right),\left(5,5\right),$
$\left(6,2\right),\left(6,4\right),\left(6,6\right)\}$

B - co najmniej raz wyrzucono liczbę oczek podzielną przez 3

Zatem

$B=\{\left(3,1\right),\left(1,3\right),\left(3,2\right),\left(2,3\right),\left(3,3\right),\left(3,4\right),\left(4,3\right),\left(3,5\right),\left(5,3\right),$
$\left(3,6\right),\left(6,3\right)$
$\left(6,1\right),\left(1,6\right),\left(6,2\right),\left(2,6\right),\left(6,4\right),\left(4,6\right),\left(6,5\right),\left(5,6\right),\left(6,6\right)\}$

C - iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą dwucyfrową

Zatem

$C=\{\left(2,5\right),\left(2,6\right),$
$\left(3,4\right),\left(3,5\right),\left(3,6\right)$
$\left(4,3\right),\left(4,4\right),\left(4,5\right),\left(4,6\right)$
$\left(5,2\right),\left(5,3\right),\left(5,4\right),\left(5,5\right),\left(5,6\right)$
$\left(6,2\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)\}$

---

a)

Wypisujemy zdarzenia elementarne, które sprzyjają jednocześnie zdarzeniu A i B (czyli takie elementy zbiorów A i B, które występują jednocześnie w obu tych zbiorach).

$A\cap B=\left\{\left(1,3\right),\left(2,6\right)\left(3,1\right),\left(3,3\right),\left(3,5\right),\left(4,6\right),\left(5,3\right),\left(6,2\right),\left(6,4\right),\left(6,6\right)\right\}$  

---

b)

Wypisujemy zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu B lub C (czyli elementy, które występują w zbiorze B lub w zbiorze C).
Uwaga praktyczna: zdarzenia, które występują w obu tych zbiorach, wypisujemy tylko jeden raz. Można postąpić następująco: przepisać wszystkie elementy jednego zbioru (np. C, bo jest ich więcej), a następnie uzupełnić tworzony zbiór o elementy, które pojawiały się wyłącznie w drugim zbiorze (czyli w tym wypadku w zbiorze B).

$B\cup C=\{\left(1,3\right),\left(1,6\right),$
$\left(2,3\right),\left(2,5\right),\left(2,6\right),$
$\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right),\left(3,4\right),\left(3,5\right),\left(3,6\right)$
$\left(4,3\right),\left(4,4\right),\left(4,5\right),\left(4,6\right)$
$\left(5,2\right),\left(5,3\right),\left(5,4\right),\left(5,5\right),\left(5,6\right)$
$\left(6,1\right),\left(6,2\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right),\left(6,6\right)\}$

---

c)

Skoro

A - suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą

to

A' - suma wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą

Zauważmy, że zdarzeniu A' sprzyjają wszystkie te zdarzenia z przestrzeni Ω, które nie zostały ujęte w zbiorze A. Wypisujemy więc wszystkie takie elementy, które są w zbiorze Ω, ale nie ma ich w zbiorze A.

$A{}^{\prime }=\Omega \backslash A=\{\left(1,2\right),\left(1,4\right),\left(1,6\right),$  
$\left(2,1\right),\left(2,3\right),\left(2,5\right),$
$\left(3,2\right),\left(3,4\right),\left(3,6\right),$
$\left(4,1\right),\left(4,3\right),\left(4,5\right),$
$\left(5,2\right),\left(5,4\right),\left(5,6\right),$
$\left(6,1\right),\left(6,3\right),\left(6,5\right)\}$

---

d)

Wypisujemy zdarzenia elementarne, które sprzyjają jednocześnie zdarzeniu A' i B (czyli takie elementy zbiorów A' i B, które występują jednocześnie w obu tych zbiorach).

$A{}^{\prime }\cap B=\left\{\left(1,6\right),\left(2,3\right),\left(3,2\right),\left(3,4\right),\left(3,6\right),\left(4,3\right),\left(5,6\right),\left(6,1\right),\left(6,3\right),\left(6,5\right)\right\}$  

---

e)

Skoro

C - iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą dwucyfrową

to

C' - iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą jednocyfrową

Wypisujemy wszystkie zdarzenia elementarne, które nie sprzyjają zdarzeniu C'.

$C{}^{\prime }=\Omega \backslash C=\{\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(1,5\right),\left(1,6\right),$  
$\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right),$
$\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right),$
$\left(4,1\right),\left(4,2\right),$
$\left(5,1\right),$  
$\left(6,1\right)\}$  

Wypisujemy zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A' lub C' (czyli elementy, które występują w zbiorze A' lub w zbiorze C').

$A{}^{\prime }\cup C{}^{\prime }=\{\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(1,5\right),\left(1,6\right),$
$\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right),\left(2,5\right),$
$\left(3,1\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right),\left(3,4\right),\left(3,6\right),$
$\left(4,1\right),\left(4,2\right),\left(4,3\right),\left(4,5\right),$
$\left(5,1\right),\left(5,2\right),\left(5,4\right),\left(5,6\right),$
$\left(6,1\right),\left(6,3\right),\left(6,5\right)\}$

---

f)

Wypisujemy zdarzenia elementarne, które sprzyjają jednocześnie zdarzeniom C i A' (czyli elementy, które występują jednocześnie w obu zbiorach: C i A'').

$C\cap A{}^{\prime }=\{\left(2,5\right),$
$\left(3,4\right),\left(3,6\right),$
$\left(5,2\right),\left(5,4\right),\left(5,6\right),$
$\left(6,3\right),\left(6,5\right)\}$