Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

Zauważmy, że skoro na czworokącie ABCD da się opisać okrąg, to

$\alpha +\gamma ={180}^{\circ }$

Stąd 

$\alpha ={180}^{\circ }-\gamma$

Z twierdzenia cosinusów do trójkąta DCB:

${\left(\sqrt{37}\right)}^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \text{cos}\gamma$  

$37=25+9-30\text{cos}\gamma$  

$37=34-30\text{cos}\gamma \mid -37+30\text{cos}\gamma$  

$30\text{cos}\gamma =-3$  

$\text{cos}\gamma =-\frac{3}{30}$

$\text{cos}\gamma =-\frac{1}{10}$

Z twierdzenia cosinusów do trójkąta DAB:

${\left(\sqrt{37}\right)}^2=x^2+4^2-2\cdot x\cdot 4\cdot \text{cos}\alpha$

${\left(\sqrt{37}\right)}^2=x^2+4^2-2\cdot x\cdot 4\cdot \text{cos}\left({180}^{\circ }-\gamma \right)$

Ze wzorów redukcyjnych:

$\text{cos}\left({180}^{\circ }-\gamma \right)=-\text{cos}\gamma$  

${\left(\sqrt{37}\right)}^2=x^2+4^2-2\cdot x\cdot 4\cdot \left(-\text{cos}\gamma \right)$

$37=x^2+16+8x\text{cos}\gamma$

$37=x^2+16+8x\cdot \left(-\frac{1}{10}\right)\mid -37$

$0=x^2-\frac{8}{10}x-21$

$x^2-\frac{4}{5}x-21=0\mid \cdot 5$  

$5x^2-4x-105=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 5\cdot \left(-105\right)=2116$

$\sqrt{\Delta }=46$

$x_1=\frac{4-46}{2\cdot 5}<0\text{- odrzucamy, bo}x>0\text{jako długosˊcˊ boku}$

$x_2=\frac{4+46}{2\cdot 5}=5$

Zatem otrzymaliśmy, że

$\underline{\underline{\left|\mathbf{A}\mathbf{D}\right|=5}}$