Jeżeli proste mają przecinać się w punkcje leżącym w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, to współrzędne x, y tego punktu muszą spełniać warunki:

$1.x>0\wedge 2.y>0$  

Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia prostych danych równaniami:

$12x+my-6=0$

  $mx+3y-2m=0$

rozwiązując układ równań:

$\left(\ast \right)\{\begin{array}{l}12x+my-6=0\\ mx+3y-2m=0\end{array}$

---

1. Wyznaczamy postać niewiadomej x z układu (*) (np. stosując metodę przeciwnych współczynników) i badamy, dla jakich m spełniony jest warunek x > 0.

$\{\begin{array}{l}12x+my-6=0\mid +6\\ mx+3y-2m=0\mid +2m\end{array}$

$\{\begin{array}{l}12x+my=6\mid \cdot \left(-3\right)\\ mx+3y=2m\mid \cdot m\underline{\text{Załoz˙enie:}\mathbf{m}\ne 0}\end{array}$

$\underline{+\{\begin{array}{l}-36x-3my=-18\\ m^{2}x+3my=2m^2\end{array}}$

$\left(m^2-36\right)x=2m^2-18\mid :\left(m^2-36\right)\underline{\text{Załoz˙enie:}{\mathbf{m}}^2-36\ne 0,}$  

$\underline{\text{czyli}\mathbf{m}\ne 6\wedge \mathbf{m}\ne -6}$  

$x=\frac{2m^2-18}{m^2-36}$

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{2m^2-18}{m^2-36}>0\text{dla}m\ne 0\wedge m\ne 6\wedge m\ne -6$  

Z twierdzenia o znaku iloczynu i ilorazu: 

$\left(2m^2-18\right)\left(m^2-36\right)>0$  

$2\left(m^2-9\right)\left(m^2-36\right)>0$

$2\left(m-3\right)\left(m+3\right)\left(m-6\right)\left(m+6\right)>0$

$\underline{m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(-3;3\right)\cup \left(6;+\infty \right)}$    

2. Wyznaczamy postać niewiadomej y z układu (*) (np. stosując metodę przeciwnych współczynników) i badamy, dla jakich m spełniony jest warunek y > 0.

$\{\begin{array}{l}12x+my-6=0\mid +6\\ mx+3y-2m=0\mid +2m\end{array}$

$\{\begin{array}{l}12x+my=6\mid \cdot m\underline{\text{Załoz˙enie:}\mathbf{m}\ne 0}\\ mx+3y=2m\mid \cdot \left(-12\right)\end{array}$

$\underline{+\{\begin{array}{l}12mx+m^{2}y=6m\\ -12mx-36y=-24m\end{array}}$

$\left(m^2-36\right)y=-18m\mid :\left(m^2-36\right)\underline{\text{Załoz˙enie:}{\mathbf{m}}^2-36\ne 0,}$  

$\underline{\text{czyli}\mathbf{m}\ne 6\wedge \mathbf{m}\ne -6}$  

$y=\frac{-18m}{m^2-36}>0$

Z twierdzenia o znaku iloczynu i ilorazu:

$\left(-18m\right)\left(m^2-36\right)>0$  

$-18m\left(m-6\right)\left(m+6\right)>0$

$\underline{m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(0;6\right)}$    

Z 1. i 2. otrzymujemy, że proste przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych wtedy i tylko wtedy, gdy m spełnia warunki:

$1.m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(-3;3\right)\cup \left(6;+\infty \right)\wedge 2.m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(0;6\right)\wedge$

$\wedge m\ne 0,m\ne 6,m\ne -6$  

Stąd otrzymujemy, że

$\underline{m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(0;3\right)}$

---

Sprawdzamy, co się dzieje, gdy m = 0 lub m = 6 lub m = -6.

• Dla m = 0 układ (*) ma postać:

$\{\begin{array}{l}12x=6\\ 3y=0\end{array}$

Stąd

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y-0\end{array}$     

Wtedy punkt przecięcia ma współrzędne

$\left(\frac{1}{2},0\right)$  

więc nie należy do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych.

• Dla m = 6 układ (*) ma postać:

$\{\begin{array}{l}12x+6y=6\\ 6x+3y=12\mid \cdot \left(-2\right)\end{array}$

Stąd

$\underline{+\{\begin{array}{l}12x+6y=6\\ -12x-6y=-24\end{array}}$

$0=-18$  

Zatem układ (*) jest układem sprzecznym, więc proste się nie przecinają.

• Dla m = -6 układ (*) ma postać:

$\{\begin{array}{l}12x-6y=6\mid :2\\ -6x+3y=-12\end{array}$

Stąd

$\underline{+\{\begin{array}{l}6x-3y=3\\ -6x+3y=-12\end{array}}$  

$0=-9$  

Zatem układ (*) jest układem sprzecznym, więc proste się nie przecinają.

---

Ostatecznie otrzymujemy, że warunki zadania są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(0;3\right)}}$