Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\left|2x-1\right|+3\left|x+2\right|-5$  

Dziedzina:

$D_f=\mathbb{R}$

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji f. W tym celu rozwiążemy równanie:

$\left(\ast \right)\left|2x-1\right|+3\left|x+2\right|-5=0$

Rozważmy postać równania (*) i jego rozwiązania w zależności od znaków wyrażeń pod wartością bezwzględną.

Rozpatrzymy 4 przypadki:

$1^{\circ }\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ x+2\ge 0\end{array}{2}^{\circ }\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ x+2<0\end{array}{3}^{\circ }\{\begin{array}{l}2x-1<0\\ x+2\ge 0\end{array}{4}^{\circ }\{\begin{array}{l}2x-1<0\\ x+2<0\end{array}$  

---

$1^{\circ }\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\mid +1\\ x+2\ge 0\mid -2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x\ge 1\mid :2\\ x\ge -2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x\ge -2\end{array}$  

Zatem

$1^{\circ }\iff x\in ⟨\frac{1}{2};+\infty )$  

Wówczas równanie (*) ma postać:

$2x-1+3\left(x+2\right)-5=0$

$2x-1+3x+6-5=0$

$5x=0$

$x=0\notin ⟨\frac{1}{2};+\infty )$   

Zatem równanie (*) nie ma wtedy rozwiązań, więc funkcja f nie ma miejsc zerowych w przedziale ⟨¹/₂; +∞).

---

$2^{\circ }\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\mid +1\\ x+2<0\mid -2\end{array}$  

Stąd

$\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x<-2\end{array}$  

Zatem

$2^{\circ }\iff x\in \varnothing$  

Wówczas rozważanie równania (*) nie ma sensu.

---

$3^{\circ }\{\begin{array}{l}2x-1<0\mid +1\\ x+2\ge 0\mid -2\end{array}$  

Stąd

$\{\begin{array}{l}x<\frac{1}{2}\\ x\ge -2\end{array}$  

Zatem

$3^{\circ }\iff x\in ⟨-2,\frac{1}{2})$  

Wówczas równanie (*) ma postać:

$-\left(2x-1\right)+3\left(x+2\right)-5=0$

$-2x+1+3x+6-5=0$

$x+2=0$

$x=-2\in ⟨-2,\frac{1}{2})$   

Zatem funkcja f ma w przedziale ⟨-2; ¹/₂) jedno miejsce zerowe:

$\underline{x=-2}$  

---

$4^{\circ }\{\begin{array}{l}2x-1<0\mid +1\\ x+2<0\mid -2\end{array}$  

Stąd

$\{\begin{array}{l}x<\frac{1}{2}\\ x<-2\end{array}$  

Zatem

$4^{\circ }\iff x\in \left(-\infty ;-2\right)$  

Wówczas równanie (*) ma postać:

$-\left(2x-1\right)+3\left(-\left(x+2\right)\right)-5=0$

$-2x+1-3x-6-5=0$

$-5x-10=0$

$-5x=10$  

$x=-2\notin \left(-\infty ;-2\right)$   

Zatem równanie (*) nie ma wtedy rozwiązań, więc funkcja f nie ma miejsc zerowych w przedziale (-∞; -2).

---

Otrzymaliśmy więc, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe:

$\underline{\underline{x=-2}}$