Zbadamy monotoniczność funkcji 

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{6x^2-x^3}$

$D_f=\mathbb{R}$   

Wyznaczamy pochodną (korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej):

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\sqrt[3]{6x^2-x^3}\right){}^{\prime }={\left({\left(6x^2-x^3\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{3}{\left(6x^2-x^3\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot \left(6x^2-x^3\right){}^{\prime }=$  

$=\frac{1}{3}{\left(x^2\left(6-x\right)\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot \left(12x-3x^2\right)=\frac{4x-x^2}{{\left(\sqrt[3]{x^2\left(6-x\right)}\right)}^2}$

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\backslash \left\{0,6\right\}$   

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{4x-x^2}{{\left(\sqrt[3]{x^2\left(6-x\right)}\right)}^2}\iff 4x-x^2=0$

$x\left(4-x\right)=0$

$x=0\notin D_{f{}^{\prime }}\vee x=4\in D_{f{}^{\prime }}$    

Dla x ∈ D_f' mianownik pochodnej jest zawsze dodatni, zatem znak pochodnej jest taki sam jak znak jej licznika. Szkicujemy więc przybliżony wykres funkcji

$y=4x-x^2,x\in D_{f{}^{\prime }}$  

i na jego podstawie określamy znak pochodnej.

Korzystając z rysunku, możemy wnioskować, że skoro pochodna jest dodatnia w przedziale (0; 4), to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.

Ponadto funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie, więc jest rosnąca w przedziale <0; 4>.

Odp.: D