Z treści zadania wiemy, że zmianę temperatury T (w stopniach Celsjusza) wody opisuje wzór

$T\left(t\right)=100-\frac{80}{t+1}$  

gdzie t oznacza czas (w minutach), który upłynął od początku podgrzewania. 

---

a)

Wyznaczamy pochodną funkcji T po czasie t (czyli szybkość zmiany temperatury) :

$T{}^{\prime }\left(t\right)={\left(100-\frac{80}{t+1}\right)}^{{}^{\prime }}=\left(100\right){}^{\prime }-{\left(\frac{80}{t+1}\right)}^{{}^{\prime }}=0-\frac{\left(80\right){}^{\prime }\cdot \left(t+1\right)-80\cdot \left(t+1\right){}^{\prime }}{{\left(t+1\right)}^2}$

Stąd 

$\underline{\underline{T{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{80}{{\left(t+1\right)}^2}\left[\frac{{}^{\circ }\text{C}}{\text{min}}\right]}}$

Wyznaczamy drugą pochodną funkcji T po czasie t (czyli przyspieszenie zmiany temperatury):

$T{}^{\prime \prime }\left(t\right)={\left(\frac{80}{{\left(t+1\right)}^2}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(80\right){}^{\prime }\cdot \left(t+1\right)-80\cdot \left({\left(t+1\right)}^2\right){}^{\prime }}{{\left({\left(t+1\right)}^2\right)}^2}=\frac{0-80\cdot \left(t^2+2t+1\right){}^{\prime }}{{\left(t+1\right)}^4}=$

$=\frac{-80\left(2t+2\right)}{{\left(t+1\right)}^4}=\frac{-160\left(t+1\right)}{{\left(t+1\right)}^4}$  

Stąd 

$\underline{\underline{T{}^{\prime \prime }\left(t\right)=-\frac{160}{{\left(t+1\right)}^3}\left[\frac{{}^{\circ }\text{C}}{{\text{min}}^2}\right]}}$

---

b) 

Obliczymy, jak szybko zmienia się temperatura wody po 3 min od początku podgrzewania.

$T{}^{\prime }\left(3\right)=\frac{80}{{\left(3+1\right)}^2}=5\left[\frac{{}^{\circ }\text{C}}{\text{min}}\right]$  

---

c)

$T{}^{\prime \prime }\left(3\right)=-\frac{160}{{\left(3+1\right)}^3}=-\frac{160}{64}=-2,5\left[\frac{{}^{\circ }\text{C}}{{\text{min}}^2}\right]$

Interpretacja:

Po upływie 3 minut od początku podgrzewania temperatura wody rośnie, ale coraz wolniej (prędkość wzrostu maleje w tempie 2,5 ºC/min).