Znajdź ekstrema...- Zadanie 9: Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Znajdziemy ekstrema funkcji

$f (x) = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{x ^{2} + 2}$

Dziedzina funkcji f:

$D_{f} = R$

Wyznaczamy pochodną funkcji f

$f^{'} (x) = (\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x ^{2} + 2})^{^{'}} = (\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} + 2})^{^{'}} =$

$= \frac{( x ^{2} - 6 x + 9 ) ^{'} \cdot ( x ^{2} + 2 ) - ( x ^{2} - 6 x + 9 ) \cdot ( x ^{2} + 2 ) ^{'}}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} =$

$= \frac{( 2 x - 6 ) \cdot ( x ^{2} + 2 ) - ( x ^{2} - 6 x + 9 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 x ^{3} + 4 x - 6 x ^{2} - 12 - 2 x ^{3} + 12 x ^{2} - 18 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} = \frac{6 x ^{2} - 14 x - 12}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$

Dziedzina pochodnej:

$D_{f^{'}} = R = D_{f}$

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{6 x ^{2} - 14 x - 12}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} = 0 \Leftrightarrow 6 x^{2} - 14 x - 12 = 0 ∣ : 2$

$3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

$Δ = 121; Δ = 11$

$\underline{x = \frac{7 - 11}{6} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}} \lor \underline{x = \frac{7 + 11}{6} = 3}$

Badamy znak pochodnej

Dla x ∈ D_f'mianownik pochodnej jest zawsze dodatni, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak jej licznika. Szkicujemy więc przybliżony wykres funkcji:

$y = 6 x^{2} - 14 x - 12 = 0 dla x \in D_{f^{'}}$

i korzystając z niego, zapisujemy wnioski:

$x$	$(- \infty; - \frac{2}{3})$	$- \frac{2}{3}$	$(- \frac{2}{3}; 3)$	$3$	$(3; + \infty)$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	maksimum lokalne	$↘$	minimum lokalne	$↗$

Zatem możemy wnioskować, że funkcja f ma

maksimum lokalne równe
$f_{m a x} (- \frac{2}{3}) = \frac{( - \frac{2}{3} - 3 ) ^{2}}{( - \frac{2}{3} ) ^{2} + 2} = \frac{( - \frac{2}{3} - \frac{9}{3} ) ^{2}}{2 \frac{4}{9}} = \frac{( - \frac{11}{3} ) ^{2}}{\frac{22}{9}} = \frac{^{11} 121}{9} \cdot \frac{9}{22 _{2}} = \frac{11}{2} = \underline{\underline{5 \frac{1}{2}}}$
minimum lokalne równe
$f_{m i n} (3) = \frac{( 3 - 3 ) ^{2}}{3 ^{2} + 2} = \underline{\underline{0}}$