Rozważmy prostą l o równaniu

$y=ax+b$

przechodzącą przez punkt P = (2,3).

Zobrazujmy sytuację przedstawioną w zadaniu:

Aby prosta l ograniczała wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt, muszą zachodzić następujące warunki:

$\{\begin{array}{l}b>0\\ x_0>0\end{array}$

Wówczas pole trójkąta możemy wyrazić w następujący sposób:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|b\right|\cdot \left|x_0\right|=\frac{1}{2}\cdot b\cdot x_0$

Wyznaczymy funkcję jednej zmiennej, opisującą to pole.

Szukamy zależności między zmiennymi b i x₀.

Wiemy, że

$x_0=-\frac{b}{a}$

Skoro punkt P = (2,3) należy do prostej l, to

$3=a\cdot 2+b$

$\underline{a=\frac{3-b}{2}}$   

Zatem

$x_0=-\frac{b}{\frac{3-b}{2}}$

Stąd 

$x_0=\frac{-2b}{3-b}$  

$x_0=\frac{2b}{b-3}$  

Wyznaczamy funkcję P opisującą pole trójkąta w zależności od b:

$P\left(b\right)=\frac{1}{2}\cdot b\cdot \underset{x_0}{\underbrace{\left(\frac{2b}{b-3}\right)}}$  

czyli

$\underline{P\left(b\right)=\frac{b^2}{b-3}}$  

Określamy jej dziedzinę.

$\{\begin{array}{l}b>0\\ x_0>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b>0\\ \frac{2b}{b-3}>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b>0\\ 2b\left(b-3\right)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b\in \left(0;+\infty \right)\\ b\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(3;+\infty \right)\end{array}\iff$

$\iff b\in \left(3;+\infty \right)$  

Zatem

$\underline{D_P=\left(3;+\infty \right)}$     

Szukamy b, dla którego funkcja P przyjmuje najmniejszą wartość.

Funkcja P jest różniczkowalna w swojej dziedzinie.

• Wyznaczamy jej pochodną:

$P{}^{\prime }\left(b\right)={\left(\frac{b^2}{b-3}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(b^2\right){}^{\prime }\cdot \left(b-3\right)-b^2\cdot \left(b-3\right){}^{\prime }}{{\left(b-3\right)}^2}=\frac{2b\left(b-3\right)-b^2\cdot 1}{{\left(b-3\right)}^2}=\frac{b^2-6b}{{\left(b-3\right)}^2}$

$D_{P{}^{\prime }}=D_P=\left(3;+\infty \right)$

Jeżeli funkcja P przyjmuje wartość najmniejszą, to jest nią najmniejsze z jej ekstremów. 

• Szukamy b ∈ (3; +∞) "podejrzanych" o występowanie ekstremów:

$P{}^{\prime }\left(b\right)=0\iff \frac{b^2-6b}{{\left(b-3\right)}^2}=0$

$b^2-6b=0$

$b\left(b-6\right)=0$  

$\underset{\text{odrzucamy}}{b=0\notin \left(3;+\infty \right)}\vee \underline{\underline{b=6}}\in \left(3;+\infty \right)$  

Zatem P(6) jest najmniejszą wartością funkcji P pod warunkiem, że

$P\left(6\right)<\underset{b\to 3^{+}}{\lim }P\left(b\right)\text{oraz}P\left(6\right)<\underset{b\to +\infty }{\lim }P\left(b\right)$  

• Porównujemy wartość funkcji P w "podejrzanym" punkcie z granicami na krańcach jej dziedziny:

$\diamond \underset{b\to 3^{+}}{\lim }P\left(b\right)=\underset{b\to 3^{+}}{\lim }\frac{b^2}{b-3}=\left[\frac{9}{0^{+}}\right]=+\infty$

$\diamond P\left(6\right)=\frac{6^2}{6-3}=12$    

$\diamond \underset{b\to +\infty }{\lim }P\left(b\right)=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{b^2}{b-3}=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{b\cdot b}{b\left(1-\frac{3}{b}\right)}=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{b}{1-\frac{3}{b}}=+\infty$  

Otrzymaliśmy, że

$P\left(6\right)<\underset{b\to 3^{+}}{\lim }P\left(b\right)\text{oraz}P\left(6\right)<\underset{b\to +\infty }{\lim }P\left(b\right)$  

zatem funkcja P osiąga wartość najmniejszą dla b = 6.

Możemy więc wnioskować, że pole rozważanego trójkąta jest najmniejsze, gdy

$b=6$

Wówczas

$a=\frac{3-b}{2}=\frac{3-6}{2}=-\frac{3}{2}=-1,5$

Zatem trójkąt ma możliwie najmniejsze pole, gdy prosta l jest dana równaniem:  

$\underline{\underline{y=-1,5x+6}}$