W schemacie Bernoullego prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów w n próbach możemy obliczyć ze wzoru ${\mathbf{P}}_{\mathbf{n}}\left(\mathbf{k}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot {\mathbf{p}}^{\mathbf{k}}\cdot {\left(1-\mathbf{p}\right)}^{\mathbf{n}-\mathbf{k}}$ gdzie n to liczba prób, k to liczba sukcesów w tych n próbach, a p to prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.

a)

Rzucamy 5 razy kostką.

Rozważmy zdarzenie

A - dokładnie 3 razy wypadnie parzysta liczba oczek

Ustalmy, że przez sukces w tym doświadczeniu rozumiemy wyrzucenie parzystej liczby oczek w pojedynczym rzucie. Wyniki pojedynczych rzutów nie wpływają na siebie wzajemnie, więc możemy stosować schemat Bernoullego.

Mamy więc

$n=5{}_{\text{bo wykonujemy 5 proˊb (rzutoˊw)}}$  

$k=3{}_{\text{bo badamy prawdopodobienˊstwo otrzymania 3 sukcesoˊw (parzystych wynikoˊw)}}$  

$p=\frac{1}{2}{}_{\text{bo prawdopodobienˊstwo sukcesu (wyrzucenia parzystej liczby oczek) w pojedynczej proˊbie to}\frac{1}{2}}$  

Zatem

$P\left(A\right)=P_5\left(3\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^{5-3}=\frac{\cancel{3!}\cdot 4\cdot 5}{\cancel{3!}\cdot 2!}\cdot \frac{1}{8}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2={}^5\cancel{10}\cdot \frac{1}{{\cancel{8}}_4}\cdot \frac{1}{4}=\underline{\underline{\frac{5}{16}}}$  

---

b)

Rzucamy 5 razy kostką.

Rozważmy zdarzenie

B - przynajmniej 4 razy wypadnie pięć lub sześć oczek

Ustalmy, że przez sukces w tym doświadczeniu rozumiemy wyrzucenie pięciu lub sześciu oczek w pojedynczym rzucie. Wyniki pojedynczych rzutów nie wpływają na siebie wzajemnie, więc możemy stosować schemat Bernoullego.

Mamy więc

$n=5{}_{\text{bo wykonujemy 5 proˊb (rzutoˊw)}}$  

$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{}_{\text{bo sukcesowi w pojedynczej proˊbie sprzyja wyrzucenie 2 z 6 moz˙liwych liczb oczek (tj. pięciu lub szesˊciu oczek)}}$  

Zauważmy, że zdarzenie B jest sumą dwóch wykluczających się zdarzeń:

• "dokładnie 4 razy wypadło pięć lub sześć oczek"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 4 sukcesów w 5 próbach, więc

$P_5\left(4\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^4\cdot {\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{5-4}=5\cdot \frac{1}{81}\cdot \frac{2}{3}=\frac{10}{243}$  

• "dokładnie 5 razy wypadło pięć lub sześć oczek"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 5 sukcesów w 5 próbach, więc

$P_5\left(5\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^5\cdot {\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{5-5}=1\cdot \frac{1}{243}\cdot 1=\frac{1}{243}$  

Wobec tego ostatecznie otrzymujemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe

$P\left(B\right)=P_5\left(4\right)+P_5\left(5\right)=\frac{10}{243}+\frac{1}{243}=\underline{\underline{\frac{11}{243}}}$

---

c)

Rzucamy 5 razy kostką.

Rozważmy zdarzenie

C - co najwyżej raz wypadnie jedno oczko

Ustalmy, że przez sukces w tym doświadczeniu rozumiemy wyrzucenie jednego oczka w pojedynczym rzucie. Wyniki pojedynczych rzutów nie wpływają na siebie wzajemnie, więc możemy stosować schemat Bernoullego.

Mamy więc

$n=5{}_{\text{bo wykonujemy 5 proˊb (rzutoˊw)}}$  

$p=\frac{1}{6}{}_{\text{bo sukcesowi w pojedynczej proˊbie sprzyja wyrzucenie 1 z 6 moz˙liwych liczb oczek (tj. jednego oczka)}}$  

Zauważmy, że zdarzenie C jest sumą dwóch wykluczających się zdarzeń:

• "w ogóle nie wypadnie jedno oczko"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 0 sukcesów w 5 próbach, więc

$P_5\left(0\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^0\cdot {\left(1-\frac{1}{6}\right)}^{5-0}=1\cdot 1\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^5=\frac{3125}{7776}$  

• "dokładnie 1 raz wypadnie jedno oczko"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 1 sukcesu w 5 próbach, więc

$P_5\left(1\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^1\cdot {\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{5-1}=5\cdot \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^4=\frac{3125}{7776}$  

Wobec tego ostatecznie otrzymujemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe

$P\left(C\right)=P_5\left(0\right)+P_5\left(1\right)=\frac{3125}{7776}+\frac{3125}{7776}=2\cdot \frac{3125}{7776}=\underline{\underline{\frac{3125}{3888}}}$

---

d)

Rzucamy 5 razy kostką.

Rozważmy zdarzenie

D - co najmniej 2 razy wypadnie nieparzysta liczba oczek

Ustalmy, że przez sukces w tym doświadczeniu rozumiemy wyrzucenie nieparzystej liczby oczek 
w pojedynczym rzucie. Wyniki pojedynczych rzutów nie wpływają na siebie wzajemnie, więc możemy stosować schemat Bernoullego.

Mamy więc

$n=5{}_{\text{bo wykonujemy 5 proˊb (rzutoˊw)}}$  

$p=\frac{1}{2}{}_{\text{bo prawdopodobienˊstwo sukcesu (wyrzucenia nieparzystej liczby oczek) w pojedynczej proˊbie to}\frac{1}{2}}$  

Prawdopodobieństwo zdarzenia D możemy łatwo obliczyć, odejmując od 1 prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do D.

Rozważmy więc

D' - nieparzysta liczba oczek wypadnie mniej niż 2 razy 

Zauważmy, że zdarzenie D' jest sumą dwóch wykluczających się zdarzeń:

• "w ogóle nie wypadnie nieparzysta liczba oczek"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 0 sukcesów w 5 próbach, więc

$P_5\left(0\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^0\cdot {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^{5-0}=1\cdot 1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$  

• "dokładnie 1 raz wypadnie nieparzysta liczba oczek"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 1 sukcesu w 5 próbach, więc

$P_5\left(1\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^1\cdot {\left(1-\frac{1}{2}\right)}^{5-1}=5\cdot \frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{5}{32}$  

Zatem

$P\left(D{}^{\prime }\right)=P_5\left(0\right)+P_5\left(1\right)=\frac{1}{32}+\frac{5}{32}=\frac{6}{32}=\frac{3}{16}$  

Wobec tego ostatecznie otrzymujemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia D jest równe

$P\left(D\right)=1-P\left(D{}^{\prime }\right)=1-\frac{3}{16}=\underline{\underline{\frac{13}{16}}}$

---

e)

Rzucamy 5 razy kostką.

Rozważmy zdarzenie

E - co najmniej 3 razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza niż 3

Ustalmy, że przez sukces w tym doświadczeniu rozumiemy wyrzucenie liczby oczek nie mniejszej niż 3 
w pojedynczym rzucie. Wyniki pojedynczych rzutów nie wpływają na siebie wzajemnie, więc możemy stosować schemat Bernoullego.

Mamy więc

$n=5{}_{\text{wykonujemy 5 proˊb (rzutoˊw)}}$  

$p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}{}_{\text{sukcesowi w pojedynczej proˊbie sprzyja wyrzucenie 4 z 6 liczb oczek (tj. trzech, czterech, pięciu lub szesˊciu oczek)}}$  

Zauważmy, że zdarzenie E jest sumą trzech wykluczających się zdarzeń:

• "dokładnie 3 razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza niż 3"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 3 sukcesów w 5 próbach, więc

$P_5\left(3\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3\cdot {\left(1-\frac{2}{3}\right)}^{5-3}=\frac{\cancel{3!}\cdot 4\cdot 5}{\cancel{3!}\cdot 2!}\cdot \frac{8}{27}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=10\cdot \frac{8}{27}\cdot \frac{1}{9}=\frac{80}{243}$  

• "dokładnie 4 razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza niż 3"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 4 sukcesów w 5 próbach, więc

$P_5\left(4\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4\cdot {\left(1-\frac{2}{3}\right)}^{5-4}=\frac{\cancel{4!}\cdot 5}{\cancel{4!}\cdot 1!}\cdot \frac{16}{81}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^1=5\cdot \frac{16}{81}\cdot \frac{1}{3}=\frac{80}{243}$  

• "dokładnie 5 razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza niż 3"
  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawdopodobieństwo otrzymania 5 sukcesów w 5 próbach, więc

$P_5\left(5\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^5\cdot {\left(1-\frac{2}{3}\right)}^{5-5}=1\cdot \frac{32}{243}\cdot 1=\frac{32}{243}$  

Wobec tego ostatecznie otrzymujemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia E jest równe

$P\left(E\right)=P_5\left(3\right)+P_5\left(4\right)+P_5\left(5\right)=\frac{80}{243}+\frac{80}{243}+\frac{32}{243}=\frac{192}{243}=\underline{\underline{\frac{64}{81}}}$

---

f)

Rzucamy 5 razy kostką.

Rozważmy zdarzenie

F - co najwyżej 4 razy wypadnie liczba oczek niepodzielna przez 5

Ustalmy, że przez sukces w tym doświadczeniu rozumiemy wyrzucenie liczby oczek niepodzielnej przez 5 
w pojedynczym rzucie. Wyniki pojedynczych rzutów nie wpływają na siebie wzajemnie, więc możemy stosować schemat Bernoullego.

Mamy więc

$n=5{}_{\text{wykonujemy 5 proˊb (rzutoˊw)}}$  

$p=\frac{5}{6}{}_{\text{sukcesowi w pojedynczej proˊbie sprzyja wyrzucenie 5 z 6 moz˙liwych liczb oczek (tj. wszystko oproˊcz pięciu oczek)}}$  

Prawdopodobieństwo zdarzenia F możemy łatwo obliczyć, odejmując od 1 prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do F.

Rozważmy więc

F' - liczba oczek niepodzielna przez 5 wypadnie więcej niż 4 razy
      (czyli wypadnie dokładnie 5 razy w 5 rzutach) 

Zatem

$P\left(F{}^{\prime }\right)=P_5\left(5\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^5\cdot {\left(1-\frac{5}{6}\right)}^{5-5}=1\cdot \frac{3125}{7776}\cdot 1=\frac{3125}{7776}$  

Wobec tego ostatecznie otrzymujemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia F jest równe

$P\left(F\right)=1-P\left(F{}^{\prime }\right)=1-\frac{3125}{7776}=\underline{\underline{\frac{4651}{7776}}}$