Zapiszmy odwrotność sumy kwadratów pierwiastków i ją przekształćmy.

$\frac{1}{x_1^2+x_2^2}=\frac{1}{x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2}=\frac{1}{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}=\dots$

 Ze wzorów Viete'a

$\dots =\frac{1}{{\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-2\cdot \frac{c}{a}}=\frac{1}{{\left(3m\right)}^2-2\cdot \left(m-4\right)}=\frac{1}{9m^2-2m+8}\left(\ast \right)$  

Zakładamy, że

$9m^2-2m+8\ne 0$  

${\Delta }_m={\left(-2\right)}^2-4\cdot 9\cdot 8=4-288=-284$  

Zatem jest spełnione to założenie dla każdej wartości m.

Zauważmy, że ułamek (*) będzie miał największą wartość, gdy mianownik będzie najmniejszy możliwy. Stąd szukamy minimum wyrażenia

$f\left(m\right)=9m^2-2m+8$  

Będzie ono w wierzchołku paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Stąd

$m_W=\frac{-b_m}{2a_m}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$