Treść:

Jeżeli cos β = - ¹/₃ i β ∈ (π, ³/₂ π), to wartość wyrażenia sin (β - ¹/₃ π) jest równa:

A. (-2√2+√3)/6

B. (2√6+1)/6

C. (2√2+√3)/6

D. (1-2√6)/6

---

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

$\cos \beta =-\frac{1}{3},\beta \in \left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right)$   

 

Obliczymy wartość wyrażenia:

$\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)$  

 

Ze wzoru na sinus różnicy kątów:

$\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)=\sin \beta \cos \left(\frac{1}{3}\pi \right)-\cos \beta \sin \left(\frac{1}{3}\pi \right)$  

$\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)=\sin \beta \cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)=\frac{1}{2}\sin \beta +\frac{\sqrt{3}}{6}$  

 

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$  

${\sin }^2\beta +{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\beta +\frac{1}{9}=1$  

${\sin }^2\beta =\frac{8}{9}$  

$\text{Skoro}\beta \in \left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right),\text{to}\sin \beta <0,\text{zatem:}$  

$\sin \beta =-\sqrt{\frac{8}{9}}$  

$\sin \beta =-\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}$  

$\sin \beta =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

 

Otrzymujemy więc, że:

$\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{6}$  

$\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)=-\frac{2\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}$  

$\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)=\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$  

---

Odpowiedź: A.