Treść:

Funkcja f jest określona wzorem

$f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x-2}$

dla każdej liczby rzeczywistej x≠2.

Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu x = ¹/₂ jest równa

A.  $\frac{3}{4}$  

B.  $\frac{9}{4}$  

C.   $3$  

D.  $\frac{54}{8}$  

---

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że:

$f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x-2},x\ne 2$

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^3-8\right){}^{\prime }\left(x-2\right)-\left(x^3-8\right)\left(x-2\right){}^{\prime }}{{\left(x-2\right)}^2}$

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3x^2\left(x-2\right)-\left(x^3-8\right)\cdot 1}{{\left(x-2\right)}^2}$    

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3x^3-6x^2-x^3+8}{{\left(x-2\right)}^2}$

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^3-6x^2+8}{{\left(x-2\right)}^2}$   

Wyznaczamy wartość pochodnej funkcji f dla argumentu x = ¹/₂:

$f{}^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3-6\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+8}{{\left(\frac{1}{2}-2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{1}{8}-6\cdot \frac{1}{4}+8}{{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\frac{1}{4}-\frac{6}{4}+8}{\frac{9}{4}}$  

$f{}^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{5}{4}+8\right)\cdot \frac{4}{9}$

$f{}^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=6\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{9}=\frac{27}{4}\cdot \frac{4}{9}=3$   

---

Odp: Poprawną odpowiedzią do zadania jest odpowiedź C.