Założenie:

(a_n) - ciąg arytmetyczny;

$a_1=1$  

$\frac{a_1+a_2+\dots +a_m}{a_1+a_2+\dots +a_k}=\frac{m^2}{k^2},m\ne k,m,k\in \mathbb{N}+$  

Teza:

Różnica ciągu (a_n) jest równa 2.

Dowód:

Oznaczmy przez r różnicę ciągu (a_n).

Korzystając z określenia ciągu arytmetycznego mamy 

• $a_m=a_1+\left(m-1\right)\cdot r=1+\left(m-1\right)\cdot r$  
• $a_k=a_1+\left(k-1\right)\cdot r=1+\left(k-1\right)\cdot r$  

Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dostajemy 

$\frac{a_1+\dots +a_m}{a_1+\dots +a_k}=\frac{m^2}{k^2}$  

$\frac{\frac{a_1+a_m}{2}\cdot m}{\frac{a_1+a_k}{2}\cdot k}=\frac{m^2}{k^2}$  

$\frac{\frac{1+1+\left(m-1\right)\cdot r}{2}\cdot m}{\frac{1+1+\left(k-1\right)\cdot r}{2}\cdot k}=\frac{m^2}{k^2}$  

$\frac{\frac{2+\left(m-1\right)\cdot r}{2}}{\frac{2+\left(k-1\right)\cdot r}{2}}\cdot \frac{m}{k}=\frac{m^2}{k^2}\mid \cdot \frac{k}{m}$  

$\frac{\frac{2+mr-r}{2}}{\frac{2+kr-r}{2}}=\frac{m}{k}$  

$\frac{2+mr-r}{2+kr-r}=\frac{m}{k}\mid \cdot k\cdot \left(2+kr-r\right)$  

$k\cdot \left(2+mr-r\right)=m\cdot \left(2+kr-r\right)$  

$2k+kmr-kr=2m+kmr-mr$  

$mr-kr=2m-2k$  

$r\left(m-k\right)=2\left(m-k\right)\mid :\left(m-k\right)$  

$r=2$  

c.n.d.