Oblicz...- Zadanie 7.61: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta:

$sin 2 α = 2 sin α cos α, α \in R$
$cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α, α \in R$
$t g 2 α = \frac{2 \cdot t g α}{1 - t g ^{2} α}, α \in R \ {x : x = \frac{k π}{4}, k \in Z \ {0}}$

Obliczymy wartość wyrażenia

$cos^{2} 165^{\circ} - cos^{2} 105^{\circ}$

Korzystając ze wzorów redukcyjnych mamy

$cos 165^{\circ} = cos (180^{\circ} - 15^{\circ}) = - cos 15^{\circ}$

$cos 105^{\circ} = cos (90^{\circ} + 15^{\circ}) = - sin 15^{\circ}$

czyli otrzymujemy

$cos^{2} 165^{\circ} - cos^{2} 105^{\circ} = (- cos 15^{\circ})^{2} - (- sin 15^{\circ})^{2} = cos^{2} 15^{\circ} - sin^{2} 15^{\circ} = \dots$

korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta mamy

$\dots = cos 30^{\circ} = \frac{3}{2}$

czyli

$\underline{\underline{cos^{2} 165^{\circ} - cos^{2} 105^{\circ} = \frac{3}{2}}}$

Przekształcając podane wyrażenie otrzymujemy

$t g 15^{\circ} - ct g 15^{\circ} = \frac{sin 15 ^{\circ}}{cos 15 ^{\circ}} - \frac{cos 15 ^{\circ}}{sin 15 ^{\circ}} = \frac{sin ^{2} 15 ^{\circ} - cos ^{2} 15 ^{\circ}}{sin 15 ^{\circ} \cdot cos 15 ^{\circ}} = \frac{- ( cos ^{2} 15 ^{\circ} - sin ^{2} 15 ^{\circ} )}{= 1 \frac{1}{2} \cdot 2 sin 15 ^{\circ} \cdot cos 15 ^{\circ}} = \dots$

zauważmy, że w liczniku ułamka otrzymaliśmy wzór na cosinus podwojonego kąta a w mianowniku na sinus podwojonego kąta

$\dots = - \frac{cos 30 ^{\circ}}{\frac{1}{2} \cdot sin 30 ^{\circ}} = - \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = - \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{4}} = - \frac{3}{2} \cdot 4 = - 23$

czyli

$\underline{\underline{t g 15^{\circ} - ct g 15^{\circ} = - 23}}$

Korzystając ze wzorów redukcyjnych mamy

$ct g 75^{\circ} = ct g (90^{\circ} - 15^{\circ}) = t g 15^{\circ}$

zatem przekształcając podane wyrażenie otrzymujemy

$\frac{1 + t g 15 ^{\circ}}{1 - ct g 75 ^{\circ}} = \frac{1 + t g 15 ^{\circ}}{1 - t g 15 ^{\circ}} = \frac{1 + \frac{s i n 15 ^{\circ}}{c o s 15 ^{\circ}}}{1 - \frac{s i n 15 ^{\circ}}{c o s 15 ^{\circ}}} = \frac{\frac{c o s 15 ^{\circ} + s i n 15 ^{\circ}}{c o s 15 ^{\circ}}}{\frac{c o s 15 ^{\circ} - s i n 15 ^{\circ}}{c o s 15 ^{\circ}}} =$

$= \frac{cos 15 ^{\circ} + sin 15 ^{\circ}}{cos 15 ^{\circ} - sin 15 ^{\circ}} = \frac{cos 15 ^{\circ} + sin 15 ^{\circ}}{cos 15 ^{\circ} - sin 15 ^{\circ}} \cdot = 1 \frac{cos 15 ^{\circ} + sin 15 ^{\circ}}{cos 15 ^{\circ} + sin 15 ^{\circ}} =$

$= \frac{( cos 15 ^{\circ} + sin 15 ^{\circ} ) ^{2}}{cos ^{2} 15 ^{\circ} - sin ^{2} 15 ^{\circ}} = \frac{cos ^{2} 15 ^{\circ} + sin ^{2} 15 ^{\circ} = 1 + 2 sin 15 ^{\circ} cos 15 ^{\circ}}{cos ^{2} 15 ^{\circ} - sin ^{2} 15 ^{\circ}} = \dots$

zauważmy, że w liczniku ułamka mamy wzór na sinus podwojonego kąta, a w mianowniku wzór na cosinus podwojonego kąta, czyli

$\dots = \frac{1 + sin 30 ^{\circ}}{cos 30 ^{\circ}} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = 3$

czyli

$\underline{\underline{\frac{1 + t g 15 ^{\circ}}{1 - ct g 75 ^{\circ}} = 3}}$

Obliczymy wartość wyrażenia

$\frac{1}{sin ^{2} 105 ^{\circ}} - \frac{1}{sin ^{2} 375 ^{\circ}}$

Korzystając ze wzorów redukcyjnych mamy

$sin 105^{\circ} = sin (90^{\circ} + 15^{\circ}) = cos 15^{\circ}$

$sin 375^{\circ} = sin (360^{\circ} + 15^{\circ}) = sin 15^{\circ}$

czyli możemy zapisać

$\frac{1}{sin ^{2} 105 ^{\circ}} - \frac{1}{sin ^{2} 375 ^{\circ}} = \frac{1}{cos ^{2} 15 ^{\circ}} - \frac{1}{sin ^{2} 15 ^{\circ}} = \frac{sin ^{2} 15 ^{\circ} - cos ^{2} 15 ^{\circ}}{sin ^{2} 15 ^{\circ} \cdot cos ^{2} 15 ^{\circ}} =$

$= \frac{- ( cos ^{2} 15 ^{\circ} - sin ^{2} 15 ^{\circ} )}{= 1 \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot sin ^{2} 15 ^{\circ} cos ^{2} 15 ^{\circ}} = \frac{- ( cos ^{2} 15 ^{\circ} - sin ^{2} 15 ^{\circ} )}{\frac{1}{4} ( 2 \cdot sin 15 ^{\circ} cos 15 ^{\circ} ) ^{2}} = \dots$

zauważmy, że w liczniku ułamka mamy wzór na cosinus podwojonego kąta, a w mianowniku wzór na sinus podwojonego kąta, czyli

$\dots = \frac{- cos 30 ^{\circ}}{\frac{1}{4} \cdot ( sin 30 ^{\circ} ) ^{2}} = \frac{- \frac{3}{2}}{\frac{1}{4} \cdot ( \frac{1}{2} ) ^{2}} = \frac{- \frac{3}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}} = - 83$

więc

$\underline{\underline{\frac{1}{sin ^{2} 105 ^{\circ}} - \frac{1}{sin ^{2} 375 ^{\circ}} = - 83}}$

Obliczymy wartość wyrażenia

$\frac{sin ^{2} 10 ^{\circ} - sin ^{2} 100 ^{\circ}}{7 sin 35 ^{\circ} \cdot sin 125 ^{\circ}}$

Korzystając ze wzorów redukcyjnych mamy

$sin 100^{\circ} = sin (90^{\circ} + 10^{\circ}) = cos 10^{\circ}$

$sin 125^{\circ} = sin (90^{\circ} + 35^{\circ}) = cos 35^{\circ}$

czyli otrzymujemy, że

$\frac{sin ^{2} 10 ^{\circ} - sin ^{2} 100 ^{\circ}}{7 sin 35 ^{\circ} \cdot sin 125 ^{\circ}} = \frac{sin ^{2} 10 ^{\circ} - ( cos 10 ^{\circ} ) ^{2}}{7 sin 35 ^{\circ} \cdot cos 35 ^{\circ}} = \frac{- ( cos ^{2} 10 ^{\circ} - sin ^{2} 10 ^{\circ} )}{\frac{7}{2} \cdot 2 sin 35 ^{\circ} cos 35 ^{\circ}} = \dots$

zauważmy, że w liczniku ułamka mamy wzór na cosinus podwojonego kąta, a w mianowniku wzór na sinus podwojonego kąta, czyli

$\dots = \frac{- cos 20 ^{\circ}}{\frac{7}{2} \cdot sin 70 ^{\circ}} = \frac{- cos ( 90 ^{\circ} - 70 ^{\circ} )}{\frac{7}{2} \cdot sin 70 ^{\circ}} = \frac{- sin 70 ^{\circ}}{\frac{7}{2} \cdot sin 70 ^{\circ}} = - \frac{2}{7}$

więc

$\underline{\underline{\frac{sin ^{2} 10 ^{\circ} - sin ^{2} 100 ^{\circ}}{7 sin 35 ^{\circ} \cdot sin 125 ^{\circ}} = - \frac{2}{7}}}$

Obliczymy wartość wyrażenia

$\frac{t g ^{2} 75 ^{\circ} + t g ^{2} 15 ^{\circ}}{cos ^{2} 60 ^{\circ}}$

Korzystając ze wzorów redukcyjnych mamy

$t g 75^{\circ} = t g (90 - 15^{\circ}) = ct g 15^{\circ}$

wówczas otrzymujemy

$\frac{t g ^{2} 75 ^{\circ} + t g ^{2} 15 ^{\circ}}{cos ^{2} 60 ^{\circ}} = \frac{ct g ^{2} 15 ^{\circ} + t g ^{2} 15 ^{\circ}}{( \frac{1}{2} ) ^{2}} = \frac{ct g ^{2} 15 ^{\circ} + t g ^{2} 15 ^{\circ} - 2 ct g 15 ^{\circ} t g 15 ^{\circ} + 2 ct g 15 ^{\circ} t g 15 ^{\circ}}{\frac{1}{4}}$

$= 4 \cdot (ct g 15^{\circ} - t g 15^{\circ})^{2} + 2 = 1 ct g 15^{\circ} t g 15^{\circ} = 4 \cdot ((ct g 15^{\circ} - t g 15^{\circ})^{2} + 2 \cdot 1) =$