Oblicz...- Zadanie 7.60: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta:

$sin 2 α = 2 sin α cos α, α \in R$
$cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α, α \in R$
$t g 2 α = \frac{2 \cdot t g α}{1 - t g ^{2} α}, α \in R \ {x : x = \frac{k π}{4}, k \in Z \ {0}}$

a)

Wiadomo, że

$cos α = \frac{1}{5} i α \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$

Końcowe ramię kąta 𝛼 leży w IV ćwiartce układu współrzędnych czyli sin𝛼<0, tg𝛼<0 i ctg𝛼<0.

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" mamy

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

$sin^{2} α + (\frac{1}{5})^{2} = 1$

$sin^{2} α + \frac{1}{25} = 1$

$sin^{2} α = \frac{24}{25} i sin α < 0$

$\underline{\underline{sin α = - \frac{24}{5} = - \frac{2 6}{5}}}$

Wtedy

$\underline{\underline{t g α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\frac{- 2 6}{5}}{\frac{1}{5}} = - 26}}$

Korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta mamy

$sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (\frac{- 2 6}{5}) \cdot \frac{1}{5} = - \frac{4 6}{25}$
$cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = 2 \cdot (\frac{1}{5})^{2} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{25} - 1 = \frac{2}{25} - 1 = - \frac{23}{25}$
$t g 2 α = \frac{2 t g α}{1 - t g ^{2} α} = \frac{2 \cdot ( - 2 6 )}{1 - ( - 2 6 ) ^{2}} = \frac{- 4 6}{1 - 24} = \frac{- 4 6}{- 23} = \frac{4 6}{23}$
$ct g 2 α = \frac{1}{t g 2 α} = \frac{1}{\frac{4 6}{23}} = \frac{23}{4 6} = \frac{23 6}{24}$

b)

Wiadomo, że

$sin α = \frac{2}{3} i α \in (0, \frac{π}{2})$

Końcowe ramię kąta 𝛼 leży w I ćwiartce układu współrzędnych czyli cos𝛼>0, tg𝛼>0 i ctg𝛼>0.

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" mamy

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

$(\frac{2}{3})^{2} + cos^{2} α = 1$

$\frac{4}{9} + cos^{2} α = 1$

$cos^{2} α = \frac{5}{9} i cos α > 0$

$\underline{\underline{cos α = \frac{5}{3}}}$

Wtedy

$\underline{\underline{t g α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{2}{5}}}$

Korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta mamy

$sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4 5}{9}$
$cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = 2 \cdot (\frac{5}{3})^{2} - 1 = 2 \cdot \frac{5}{9} - 1 = \frac{10}{9} - 1 = \frac{1}{9}$
$t g 2 α = \frac{2 t g α}{1 - t g ^{2} α} = \frac{2 \cdot \frac{2}{5}}{1 - ( \frac{2}{5} ) ^{2}} = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}} = 45$
$ct g 2 α = \frac{1}{t g 2 α} = \frac{1}{4 5} = \frac{5}{20}$

c)

Wiadomo, że

$t g α = - 3 i α \in (\frac{π}{2}, π)$

Końcowe ramię kąta 𝛼 leży w II ćwiartce układu współrzędnych czyli sin𝛼>0, cos𝛼<0 i ctg𝛼<0.

Korzystając z tożsamości

$t g α = \frac{sin α}{cos α}$

dostajemy

$t g α = - 3 \Rightarrow \frac{sin α}{cos α} = - 3 \Rightarrow sin α = - 3 cos α$

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" mamy

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

$(- 3 cos α)^{2} + cos^{2} α = 1$

$9 cos^{2} α + cos^{2} α = 1$

$10 cos^{2} α = 1$

$cos^{2} α = \frac{1}{10} i cos α < 0$

$\underline{\underline{cos α = - \frac{1}{10} = - \frac{10}{10}}}$

Wtedy

$\underline{\underline{sin α}} = - 3 cos α = - 3 \cdot (- \frac{10}{10}) = \underline{\underline{\frac{3 10}{10}}}$

Korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta mamy

$sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot \frac{3 10}{10} \cdot (- \frac{10}{10}) = - \frac{6}{10} = - \frac{3}{5}$
$cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = 2 \cdot (- \frac{10}{10})^{2} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{10} - 1 = \frac{1}{5} - 1 = - \frac{4}{5}$
$t g 2 α = \frac{2 t g α}{1 - t g ^{2} α} = \frac{2 \cdot ( - 3 )}{1 - ( - 3 ) ^{2}} = \frac{- 6}{1 - 9} = \frac{- 6}{- 8} = \frac{3}{4}$
$ct g 2 α = \frac{1}{t g 2 α} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$

d)

Wiadomo, że

$ct g α = 2, 5 i α \in (π, \frac{3 π}{2})$

Końcowe ramię kąta 𝛼 leży w III ćwiartce układu współrzędnych czyli sin𝛼<0, cos𝛼<0 i tg𝛼>0.

Wyznaczamy tg𝛼:

$t g α = \frac{1}{ct g α} = \frac{1}{2 , 5} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$

Korzystając z tożsamości

$t g α = \frac{sin α}{cos α}$

dostajemy

$t g α = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{sin α}{cos α} = \frac{2}{5} \Rightarrow sin α = \frac{2}{5} cos α$

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" mamy

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

$(\frac{2}{5} cos α)^{2} + cos^{2} α = 1$

$\frac{4}{25} cos^{2} α + cos^{2} α = 1$

$\frac{29}{25} cos^{2} α = 1$

$cos^{2} α = \frac{25}{29} i cos α < 0$

$\underline{\underline{cos α = - \frac{5}{29}}}$

Wtedy

$\underline{\underline{sin α}} = \frac{2}{5} cos α = \frac{2}{5} \cdot (- \frac{5}{29}) = - \frac{2}{29}$

Korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta mamy

$sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (- \frac{2}{29}) \cdot (- \frac{5}{29}) = \frac{20}{29}$
$cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = 2 \cdot (- \frac{5}{29})^{2} - 1 = 2 \cdot \frac{25}{29} - 1 = \frac{50}{29} - 1 = \frac{21}{29}$
$t g 2 α = \frac{2 t g α}{1 - t g ^{2} α} = \frac{2 \cdot \frac{2}{5}}{1 - ( \frac{2}{5} ) ^{2}} = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{25}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{21}{25}} = \frac{20}{21}$
$ct g 2 α = \frac{1}{t g 2 α} = \frac{1}{\frac{20}{21}} = \frac{21}{20} = 1 \frac{1}{20}$