Założenia:

Trójkąt jest nieprostokątny, zatem

$\alpha \ne \frac{\pi }{2}\wedge \beta \ne \frac{\pi }{2}\wedge \gamma \ne \frac{\pi }{2}$

a więc tangensy tych kątów istnieją.

Teza:

$\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\beta \cdot \mathrm{tg}\gamma }=\frac{\cos \gamma }{\cos \alpha \cdot \sin \beta }$

Dowód:

Przekształcając lewą stronę podanej równości korzystając z własności tangensa dostajemy 

$L=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\beta \cdot \mathrm{tg}\gamma }=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\cdot \frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }}=\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\right):\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\cos \beta \cos \gamma }=\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\right)\cdot \frac{\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }=$

$=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cancel{\cos \beta }}\cdot \frac{\cancel{\cos \beta }\cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }=\frac{\left(\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \right)\cos \gamma }{\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma }=\dots$

Wykorzystując wzór na sinus sumy kątów otrzymujemy

$\dots =\frac{\sin \left(\alpha +\beta \right)\cos \gamma }{\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma }=\dots$

Zauważmy, że w trójkącie zachodzi równość ze względu na stała sumę kątów w trójkącie

$\alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma$

A wiec otrzymujemy

$\dots =\frac{\sin \left(180^{\circ }-\gamma \right)\cos \gamma }{\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma }=\dots$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego sin(180°-α)=sinα mamy

$\dots =\frac{\sin \gamma \cos \gamma }{\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma }=\frac{\cos \gamma }{\cos \alpha \cdot \sin \beta }=P$

Otrzymaliśmy więc, że 

  

czyli podana równość jest prawdziwa. 

c.n.d.