|
Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝛼 i 𝛽 prawdziwe są wzory:
- sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
- sin(α−β)=sinαcosβ−cosα⋅sinβ
- cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
- cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
|
Wiadomo, że
α∈(2π, π), więc cosα<0
β∈(23π,2π), więc sinβ<0, cosβ>0
ponadto
sinα=32, tgβ=−2,4
Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" mamy
(32)2+cos2α=1
94+cos2α=1
cos2α=95 i cosα<0
czyli
cosα=−35
{cosβsinβ=−512sin2β+cos2β=1
{sinβ=−512cosβ(−512cosβ)2+cos2β=1
{sinβ=−512cosβ25144cos2β+cos2β=1
{sinβ=−512cosβ25169cos2β=1
{sinβ=−512cosβcos2β=16925 i cosβ>0
{sinβ=−512cosβcosβ=135
{sinβ=−1312cosβ=135
a)
Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów otrzymujemy
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=
=32⋅135+(−35)⋅(−1312)=3910+39125=3910+125
b)
Korzystając ze wzoru na cosinus różnicy kątów otrzymujemy
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=
=−35⋅135+32⋅(−1312)=−3955−3924=39−55−24
c)
Korzystając ze wzoru na cosinus sumy kątów otrzymujemy
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=
=−35⋅135−32⋅(−1312)=−3955+3924=39−55+24
Zatem otrzymujemy
tg(α+β)=cos(α+β)sin(α+β)=39−55+243910+125=24−55125+10=…
usuwając niewymierność z mianownika ułamka dostajemy
…=(24−55)(24+55)(125+10)(24+55)=576−1252885+300+240+505=4513385+540
d)
Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=
=32⋅135−(−35)⋅(−1312)=3910−39125=3910−125
Zatem otrzymujemy
ctg(α−β)=sin(α−β)cos(α−β)=3910−12539−55−24=10−125−55−24=…
usuwając niewymierność z mianownika ułamka dostajemy
…=(10−125)(10+125)(−55−24)(10+125)=
=100−720−505−300−240−2885=−620−3385−540=6203385+540=3101695+270
