Naszkicuj wykres funkcji...- Zadanie 7.53: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Naszkicujemy wykres funkcji

$y = 3 sin x - cos x, x \in R$

Przekształcamy wzór funkcji (korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów)

$y = \frac{2}{2} \cdot 3 sin x - \frac{2}{2} \cdot cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 (cos \frac{π}{6} sin x - sin \frac{π}{6} cos x) =$

$= 2 (sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})$

czyli otrzymaliśmy, że

$y = 2 sin (x - \frac{π}{6}), x \in R$

Szkicujemy wykres funkcji y = sinx, następnie otrzymany wykres przekształcamy przez powinowactwo prostokątne o osi OX i skali 2 i dostajemy wykres funkcji y = 2sinx. Na koniec wykres funkcji y = 2sinx przesuwamy równolegle o wektor [^𝜋/₆, 0] dzięki czemu dostajemy wykres funkcji y=2sin(x-^𝜋/₆).

Naszkicujemy wykres funkcji

$y = 8 sin x + 8 cos x, x \in R$

Przekształcamy wzór funkcji (korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów)

$y = 8 sin x + 8 cos x = 22 sin x + 22 cos x = = 1 \frac{2}{2} \cdot 22 sin x + = 1 \frac{2}{2} \cdot 22 cos x =$

$= 4 (\frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x) = 4 (cos \frac{π}{4} sin x + sin \frac{π}{4} cos x) =$

$= 4 (sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4}) = 4 sin (x + \frac{π}{4})$

czyli otrzymaliśmy, że

$y = 4 sin (x + \frac{π}{4}), x \in R$

Szkicujemy wykres funkcji y = sinx, następnie otrzymany wykres przekształcamy przez powinowactwo prostokątne o osi OX i skali 4 i dostajemy wykres funkcji y = 4sinx. Na koniec wykres funkcji y = 2sinx przesuwamy równolegle o wektor [-^𝜋/₄, 0] dzięki czemu dostajemy wykres funkcji y=4sin(x+^𝜋/₄).

Naszkicujemy wykres funkcji

$y = \frac{t g x + 1}{1 - t g x}$

Dziedzina:

tangens musi być określony i mianownik ułamka musi być różny od zera, czyli

$x \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z \land t g x \neq = 1$

$x \neq = \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

czyli

$\underline{\underline{D = R \ {x : x = \frac{π}{2} + k π \lor x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z}}}$

Przekształcamy wzór funkcji (korzystając ze wzoru na tangens sumy kątów)

$y = \frac{t g x + 1}{1 - t g x} = \frac{t g x + t g \frac{π}{4} = 1}{1 - t g x \cdot = 1 t g \frac{π}{4}} = t g (x + \frac{π}{4})$

Szkicujemy wykres funkcji y = tgx, następnie otrzymany wykres przesuwamy równolegle o wektor [-^𝜋/₄, 0] dzięki czemu dostajemy wykres funkcji y=tg(x+^𝜋/₄). Szkicując wykres pamiętajmy o dziedzinie.

$y = t g (x + \frac{π}{4}), x \in {a : a = \frac{π}{2} + k π \lor a = \frac{π}{4} + k π, k \in Z}$

Naszkicujemy wykres funkcji

$y = \frac{t g x - 3}{1 + 3 \cdot t g x}$

Dziedzina:

tangens musi być określony i mianownik ułamka musi być różny od zera, czyli

$x \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z \land 1 + 3 \cdot t g x \neq = 0$

$t g x \neq = - \frac{3}{3}$

$x \neq = - \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

czyli

$\underline{\underline{D = R \ {x : x = \frac{π}{2} + k π \lor x = - \frac{π}{6} + k π, k \in Z}}}$

Przekształcamy wzór funkcji (korzystając ze wzoru na tangens różnicy kątów)

$y = \frac{t g x - 3}{1 + 3 \cdot t g x} = \frac{t g x - t g \frac{π}{3} = 3}{1 + = 3 t g \frac{π}{3} \cdot t g x} = t g (x - \frac{π}{3})$

Szkicujemy wykres funkcji y = tgx, następnie część wykresu znajdującą się powyżej osi OX zostawiamy, natomiast część wykresu pod osią OX odbijamy symetrycznie względem tej osi- otrzymując wykres funkcji y = |tgx|.
Następnie otrzymany wykres przesuwamy równolegle o wektor [^𝜋/₃, 0] dzięki czemu dostajemy wykres funkcji y=|tg(x-^𝜋/₃)|.
Szkicując wykres pamiętajmy o dziedzinie.