Jeśli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma n początkowych wyrazów tego ciągu dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n wyraża się wzorem  $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\text{- jesˊli}q\ne 1$   $S_n=n\cdot a_1\text{- jesˊli}q=1$

---

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (96,-48, 24, ...). 

---

Wyznaczymy iloraz q tego ciągu, wystarczy, że np. podzielimy drugi wyraz przez pierwszy. 

Otrzymujemy

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-48}{96}=-\frac{1}{2}$  

---

Wyznaczymy liczbę naturalną dodatnią n, dla której zachodzi

$S_n=64,5$  

Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dostajemy

$a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=64,5$  

$96\cdot \frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{129}{2}\mid :96$  

$\frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}{1+\frac{1}{2}}=\frac{43}{64}$  

$\frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}{\frac{3}{2}}=\frac{43}{64}\mid \cdot \frac{3}{2}$  

$1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{129}{128}\mid -1$  

$-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{128}\mid :\left(-1\right)$  
${\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=-\frac{1}{128}$  

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^7$  

czyli 

$n=7$  

 

Odp. Należy zsumować siedem początkowych wyrazów tego ciągu.