Jeśli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma n początkowych wyrazów tego ciągu dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n wyraża się wzorem  $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\text{- jesˊli}q\ne 1$   $S_n=n\cdot a_1\text{- jesˊli}q=1$

---

O ciągu nieskończonym geometrycznym (b_n) wiadomo, że

• $b_1=6$  
• $q=\frac{1}{3}$  

---

Wyznaczymy liczbę naturalną dodatnią n, dla której zachodzi

$S_n=8\frac{8}{9}$  

Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dostajemy

$b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=\frac{80}{9}$  

$6\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{1-\frac{1}{3}}=\frac{80}{9}\mid :6$  

$\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{\frac{2}{3}}=\frac{40}{27}\mid \cdot \frac{2}{3}$  

$1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{80}{81}\mid -1$  

$-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=-\frac{1}{81}\mid :\left(-1\right)$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{1}{81}$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^n={\left(\frac{1}{3}\right)}^4$  

zatem 

$n=4$  

 

Odp. Należy zsumować cztery początkowe wyrazy tego ciągu.