1. Mamy

$x\cdot \left|x\right|+1\ne 0\mid -1$  

$x\cdot \left|x\right|\ne -1$  

W przypadku równania oznacza to, że x < 0. Mamy

$x\ne -1$  

Stąd

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$  

---

2. Punkty przecięcia z osiami.

$f\left(0\right)=0$

$P_{OY}=\left(0,0\right)$   

Oraz

$\frac{6x}{x\left|x\right|+1}=0$  

$6x=0$

$x=0$   

$P_{OX}=\left(0,0\right)$

---

3. Obliczmy granice funkcji w nieskończonościach i na końcach przedziału.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6x}{x\left|x\right|+1}\stackrel{x>0}{=}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6x}{x^2+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6}{x+\frac{1}{x}}=\left[\frac{6}{\infty }\right]=0$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6x}{x\left|x\right|+1}\stackrel{x<0}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6x}{-x^2+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6}{-x+\frac{1}{x}}=\left[\frac{6}{\infty }\right]=0$

Mamy asymptotę poziomą obustronną

$y=0$

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{6x}{x\left|x\right|+1}\stackrel{x<0}{=}\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{6x}{-x^2+1}=\left[\frac{-6}{\infty }\right]=-\infty$  

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{6x}{x\left|x\right|+1}\stackrel{x<0}{=}\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{6x}{-x^2+1}=\left[\frac{-6}{-\infty }\right]=+\infty$  

Istnieje asymptota pionowa obustronna

$x=-1$  

---

4. Mamy

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{6x}{x^2+1}\text{, }x>-1\\ \frac{6x}{-x^2+1}\text{, }x<-1\end{array}$  

Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{6\left(x^2+1\right)-6x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}\text{, }x>-1\\ \frac{6\left(-x^2+1\right)-6x\cdot \left(-2x\right)}{{\left(-x^2+1\right)}^2}\text{, }x<-1\end{array}=\{\begin{array}{l}\frac{6x^2+6-12x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}\text{, }x>-1\\ \frac{-6x^2+6+12x^2}{{\left(-x^2+1\right)}^2}\text{, }x<-1\end{array}=\{\begin{array}{l}\frac{6-6x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}\text{, }x>-1\\ \frac{6+6x^2}{{\left(-x^2+1\right)}^2}\text{, }x<-1\end{array}$  

Stąd

I. Dla x > -1

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{6-6x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0$  

$6-6x^2=0$  

$6\left(1-x\right)\left(1+x\right)=0$

$x=-1\notin D_{f{}^{\prime }}\vee x=1$   

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-1,1\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(1,+\infty \right)$  

II. Dla x < -1

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{6+6x^2}{{\left(-x^2+1\right)}^2}=0$  

$6+6x^2=0$  

$6\left(1+x^2\right)=0$

Wiemy, że

$x^2+1>0$  

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-1\right)$

---

Z powyższych punktów I. i II. wynika, że 

- funkcja maleje na

$⟨1,+\infty )$  

- funkcja rośnie na

$\left(-\infty ,-1\right),(-1,1⟩$  

Oraz mamy maksimum lokalne w x = 1

$f\left(1\right)=3$  

---

Tabelka przebiegu zmienności.

$x$	$\left(-\infty ,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$\times$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	$0\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow$	$0$	$\nearrow$	$3$	$\searrow 0$

Wykres na podstawie tabeli.