Zbadamy przebieg zmienności funkcji.

1. Mamy

$D_f=⟨-2,2⟩$  

2. Punkty przecięcia z osiami układu. 

$f\left(0\right)=2$

$P_{OY}=\left(0,2\right)$   

Oraz

$x^4-4x^2+2=0$

Niech t = x² ≥ 0. 

$t^2-4t+2=0$  

${\Delta }_t={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8,\sqrt{{\Delta }_t}=2\sqrt{2}$  

$t=\frac{4-\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}\vee t=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$  

Stąd

$x^2=2-\sqrt{2}\vee x^2=2+\sqrt{2}$   

$x=-\sqrt{2-\sqrt{2}}\vee x=\sqrt{2-\sqrt{2}}\vee x=-\sqrt{2+\sqrt{2}}\vee x=\sqrt{2+\sqrt{2}}$  

$P_{OX}^1=\left(-\sqrt{2-\sqrt{2}},0\right),P_{OX}^2=\left(\sqrt{2-\sqrt{2}},0\right),P_{OX}^3=\left(-\sqrt{2+\sqrt{2}},0\right),P_{OX}^4=\left(\sqrt{2+\sqrt{2}},0\right)$  

3. Nie badamy granicy na końcach przedziału, bo jest domknięty.

4. Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x^3-8x$  

$D_{f{}^{\prime }}=⟨-2,2⟩$  

5. Badamy znak pochodnej

$4x^3-8x=0$

$4x\left(x^2-2\right)=0$

$4x\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$    

$x=0\vee x=\sqrt{2}\vee x=-\sqrt{2}$  

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-\sqrt{2},0\right)\cup \left(\sqrt{2},2\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-2,-\sqrt{2}\right)\cup \left(0,\sqrt{2}\right)$

Funkcja rośnie na

$⟨-\sqrt{2},0⟩,⟨\sqrt{2},2⟩$  

Funkcja maleje na

$⟨-2,-\sqrt{2}⟩,⟨0,\sqrt{2}⟩$  

Stąd w x = 0 mamy maksimum lokalne.

$f\left(0\right)=2$  

Oraz w x = -√2 oraz x = √2 są minima lokalne.

$f\left(-\sqrt{2}\right)={\left(-\sqrt{2}\right)}^4-4\cdot {\left(-\sqrt{2}\right)}^2+2=4-8+2=-2$  

$f\left(\sqrt{2}\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^4-4\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2+2=4-8+2=-2$  

Wartości na końcach przedziału:

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^4-4\cdot {\left(-2\right)}^2+2=16-16+2=2$  

$f\left(-2\right)=2^4-4\cdot 2^2+2=16-16+2=2$  

Tabelka przebiegu zmienności. Dla przejrzystości zapisu nie zostały uwzględnione punkty przecięcia z osią OX.

$x$	$-2$	$\left(-2,-\sqrt{2}\right)$	$-\sqrt{2}$	$\left(-\sqrt{2},0\right)$	$0$	$\left(0,\sqrt{2}\right)$	$\sqrt{2}$	$\left(\sqrt{2},2\right)$	$2$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$
$f\left(x\right)$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$2$

Rysunek.

Stąd najmniejszy prostokąt o bokach równoległych do osi, w którym zwiera się wykres ma pole

$P=4\cdot 4=16$