Mamy funkcje

$f\left(x\right)=x^3+3x^2+kx+k$  

$x^3+3x^2+kx+k=0$  

$x^3+3x^2=-kx-k$  

$x^3+3x^2=-k\left(x+1\right)\mid :\left(-\left(x+1\right)\right)\ne 0\to$ później sprawdzimy, co dzieje się dla  $x=-1$   

$k=-\frac{x^3+3x^2}{x+1}$  

Zauważmy, że chcąc znaleźć miejsca zerowe funkcji f udało nam się uzyskać zależność 

$k=-\frac{x^3+3x^2}{x+1}$  

W takim razie wystarczy narysować wykres funkcji

$g\left(x\right)=-\frac{x^3+3x^2}{x+1},$

a następnie, ustalić liczbę rozwiązań równania

$g\left(x\right)=k$

w zależności od parametru k.  

---

1. Dziedzina

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$  

2. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

$g\left(x\right)=0$  

$-\frac{x^3+3x^2}{x+1}=0$  

$-\left(x^3+3x^2\right)=0$  

$-x^2\left(x+3\right)=0$  

$x=0\vee x=-3$  

Wykres przecina oś OX w punktach

$\left(0,0\right),\left(-3,0\right)$

$g\left(0\right)=0$  

Wykres przecina oś OY w punkcie

$\left(0,0\right)$  

3. Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja g jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }-\frac{x^3+3x^2}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }-\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\stackrel{\left[-\frac{1}{0}\right]}{=}-\infty$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }-\frac{x^3+3x^2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }-\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\stackrel{\left[-\frac{1}{0}\right]}{=}-\infty$   

Nie istnieje asymptota pozioma wykresu funkcji.

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }-\frac{x^3+3x^2}{x+1}\stackrel{\left[-\frac{2}{0^{-}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }-\frac{x^3+3x^2}{x+1}\stackrel{\left[-\frac{2}{0^{+}}\right]}{=}-\infty$

Prosta x=-1 asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji g.  

4. Wyznaczamy pochodną funkcji g.

$g{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{-\left(x^3+3x^2\right)}{x+1}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(-3x^2-6x\right)\left(x+1\right)+x^3+3x^2}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{-3x^3-3x^2-6x^2-6x+x^3+3x^2}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{-2x^3-6x^2-6x}{{\left(x+1\right)}^2}$   

$D_{g{}^{\prime }}=\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}.$  

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema.

$\frac{-2x^3-6x^2-6x}{{\left(x+1\right)}^2}=0$  

$-2x^3-6x^2-6x=0\mid :2$  

$-x^3-3x^2-3x=0$  

$-x\left(\underset{\Delta <0}{\underbrace{x^2+3x+3}}\right)=0$  

$x=0$   

Zauważmy, że

$g{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,0\right)$

$g{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(0,\infty \right)$

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach

$\left(-\infty ,-1\right),(-1,0⟩$

a malejąca w przedziale

$⟨0,+\infty )$  

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla x = 0.

$f\left(0\right)=0$  

---

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-3,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,+\infty \right)$
$g{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$+$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$
$g\left(x\right)$	$-\infty \nearrow$	$0$	$\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \searrow$	$0$	$\searrow +\infty$

Szkicujemy wykres funkcji:

Na postawie wykresu ustalamy liczbę rozwiązań równania g(x)=k w zależności od parametru k

• dla  $k\in \left(-\infty ,0\right)$  równanie ma trzy pierwiastki,
• dla  $k=0$  równanie ma dwa pierwiastki,
• dla  $k\in \left(0,+\infty \right)$  równanie ma jeden pierwiastek.

---

Sprawdzamy co się dzieje dla x=-1.

Obliczamy  $f\left(-1\right).$  

$f\left(-1\right)=-1+3-k+k=2$    

Zauważmy, że chcąc rozwiązać równanie

$f\left(-1\right)=0$

otrzymamy sprzeczność, więc liczba miejsce zerowe nigdy nie będzie równe x = -1 i nie uwzględniamy tego przypadku.