a) Zbadamy przebieg zmienności funkcji aby sporządzić tabelkę i narysować wykres na jej podstawie.

1. Mamy

$D_f=\mathbb{R}$

2. Przecięcia z osiami.

$f\left(0\right)=0$   

$P_{OY}=\left(0,0\right)$

Oraz

$f\left(x\right)=0$   

$\frac{1}{3}{x}^3+x^2=0$  

$x^2\left(\frac{1}{3}x+1\right)=0$  

$x=0\vee x=-3$  

$P_{OX}^1=\left(0,0\right),P_{OX}^2=\left(-3,0\right)$  

3. Badamy granice funkcji w nieskończonościach

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{3}{x}^3+x^2\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{x}\right)=\infty$  

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{3}{x}^3+x^2\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{x}\right)=-\infty$  

Nie ma asymptot poziomych.

4. Obliczamy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^2+2$  

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}$  

5. Badamy znak pochodnej.

$x^2+2x=0$  

$x\left(x+2\right)=0$  

$x=0\vee x=-2$  

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-2,0\right)$  

Funkcja jest malejąca w

$⟨-2,0⟩$  

Funkcja jest rosnąca w

$(-\infty ,-2⟩,⟨0,+\infty )$  

Mamy minimum w x = 0.

$f\left(0\right)=0$

Mamy maksimum w x = -2.

$f\left(-2\right)=\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^2=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}$   

Tabelka przebiegu zmienności.

$x$	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-3,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,0\right)$	$0$	$\left(0,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$-\infty \nearrow$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\frac{4}{3}$	$\searrow$	$0$	$\nearrow +\infty$

Rysunek.

---

b) Zauważmy, że

$g\left(x\right)=0$

$f\left(x\right)-4m=0$

$f\left(x\right)=4m$

Niech k = 4m. Na podstawie analizy w podpunkcie a) będziemy szukać takiej wartości k, aby było spełnione równanie

$f\left(x\right)=k$    

Mamy

$k=\frac{4}{3}\vee k=0$  

Zatem

$4m=\frac{4}{3}\vee 4m=0$  

$m=\frac{1}{3}\vee m=0$